M = NP

Les produits correspondants

seront précisément les 2/i-+-i fonctions Y„ exprimées au moyen des variables W|, Wj.

En effet, soîl A: le degré du polynôme P; N| N2 sera un produit de /? — k facteurs tels que

. ^ 1 ^ et

D'autre part, P^ P2 sera un polynôme en pW|, pu^ symétrique et de degré n par rapport à ces deux quantités ; ce sera donc un polynôme d'ordre n en pui pu^ et pu^ -+- pu^ Mais les équations

permettent d'exprimer les quantités

en fonction linéaire et homogène des trois quantités -^'

Donc la fonction r'»M|M2 = U sera bien un polynôme homogène et de degré /i en Xt, X2j x^. Il reste à s'assurer qu'elle satisfait à l'équation (71).

Cette vérification est immédiate, car on a

— =[/^(/^H-I)pw,-i A]U,

r* -r-T -1-2/- -r- --- /2(n— i)U -}- 2 /i U z= /i( /i 4- i) U. . Or^ or ^ ^

Le développement de la fonction arbitraire <^ en une série de termes M|, Mj sera donc possible, aux mêmes condition» que le développement en série de fonctions Y;,; ces deux développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de l'autre que par le choix des variables indépendantes.

331. Refroidissement cT une sphère homogène, — Soit r le rayon de la sphère ; nous aurons l'équation aux dérivées partielles

dt '~^ \dx^ ^ dy' "^ àz^J' avec la condition initiale

U - / pour t = o. a:' -h ^* + 5* < r* ;

/étant une fonction donnée de x^ y^ z, et la condition à la surface

^cosa-f- — cosp-i- -p cosy4-IIU=:o pour ^'-f- v'-4- c*z=r-,

a, ^, Y étant les cosinus des angles formés par la normale extérieure avec les axes coordonnés.

Remplaçons x, y, z par des coordonnées polaires o, 0, ^. L^équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n** 139).

^ ^ ,/^ , I ô^V I d^\] a dU cotO dl}\ ^'^^ di ~^ Vc^p* "^p«sin*e ô^* "^p» (^» ~^p dp "*■ p« dej'

La condition initiale prendra la forme

(73) U— / pour ^ = 0, p<ry

et la condition à la surface deviendra, en remarquant que Ton a

cosa-^-T— , cos3i=:-7-, cosy=rr-,

Oç> àp ' dp

(7/») hHU=:o pour p = r.

332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse aux équations (72) et (74)» posons

p désignant une constante, Y» une fonction de Laplace et R une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on aura chas.<é les dénominateurs et supprimé les facteurs communs,

d dR

(no)

(jG) --J — r-HR^^o pour p=:r.

L'équation (73) rentre dans la catégorie de celles que nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle admet, comme solution particulière l'expression

que nous désignerons par F;,(/>p). Celte fonction est le produit de/^^p" par une série, procédant suivant les puissances entières de /?^p^.

Il reste à satisfaire à Téquation aux limites (76). Il faut pour cela que p soit une racine de Téquation transcendante

— j^ r-ny^nKpn — o.

Le premier membre de cette équation est évidemment une fonction entière Ae p^ si /i = o; une semblable fonction, multipliée parp", si /i>o; supprimant, dans ce dernier cas, la racine parasite /> = o, qui ne fournirait qu'une solution identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une équation de la forme

La fonction F„(/?p) s'annule évidemment pour p = o si/i>>o; et, si n r= o, sa dérivée s'annule; on aura donc, dans tous les cas, en désignant par/> et q deux valeurs quelconques du paramètre/?.

M^P)^,^^^-F»(/'P)^^ = o pour p = o,

et la même relation aura lieu pour p = /•, si /> et çr sont racines de l'équation (77).

L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équation (36) considérée aux n*** 306 et suivants, dont elle se déduit en remplaçant V, x^ r, X par R, p, p^^ • et donnant à k^ g^ l les valeurs particulières p*, p^, n{n-hi). On en conclut :

1° Que les valeurs de p^ qui satisfont à l'équation (nn{p^) = o sont toutes réelles, positives, inégales et en nombre infini;

2" Qu'en désignant par p^, q^^ ... ces racines, l'intégrale

K«,= rp»F,(/>p)F,(^p)e/p,

sera nulle, si /?* diOfère de q^\ soit, au contraire, q = p] od

aura

""^ L <'/>' àr -""'^P'^) àrdp* J

Afl dp Or "^^ ' àrdp J