Posons, d'autre part, comme au a

On a vu que PJ*([x)cos/n^, P^([jl) sîn/nA sont des fonctions Y;,; on satisfera donc à la fois à réquation aux dérivées partielles et à la condition à la surface par les solutions simples

e-«V'P-(jx)sinm4.F«(/.p), et plus généralement par la série

22Se-''V"P^(p.)(A,„„^cosm^-f-B;„„psinm4;)F„(^p),

où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations s'étendant :

I® Celle par rapport à /i, à toutes les valeurs entières de o àoo; 2** culle par rapport à m, aux valeurs entières de o à /i; 3** celle par rapport à /?, à toutes les racines positives p de l'équation TSn(p'^) -~ o.

334. Cherchons à délcrminer les constantes A, B, de telle sorte que la série satisfasse à la condition initiale

(78) 222P^(tx) A^„^ cosm^ + B^np sin m^)¥^{pp) =j ,

pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire pourp^o<r, 1x5—151, ^50 = 21^.

Soit m', /i', jJ un des systèmes de valeurs associées des paramètres m, /i, p. Pour déterminer Am'n'pt niultîplions l'équation (78) par cosm'tj^rf^ et intégrons de o à 2 7w. Tous

les termes du premier membre donnent une intégrale nulle, sauf ceux qui contiennent cosm'^. On a, pour ceux-ci,

f 2, SI m :zz o.

il viendra donc

/cosm'trf-t- = SSPî'Cf*) Am-,pX„.itF(/>p).

Multiplions cette égalité par P^'([ji)£2[x et intégrons de — 1 à -H- I . Tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle (319), sauf ceux où /i = n\ pour lesquels on a

il viendra donc

/ / /cosm'4-P7([x)rf^rf|x-2:A„vpX„.itIj;.F(/>p),

la sommation ne s'étendant plus qu^aux valeurs de p correspondant à la valeur n' de l'entier n.

Multiplions enfin par p^F(/>'p)rfp et intégrons de o à r; tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle, sauf celui où/> =/?', et l'on aura finalement, pour déterminer Xm'n'p'y l'équation

r f f fcosm'^PTMp'^(p'p)MdiLdp

On trouvera, par le même procédé, pour déterminer Bm'/i'/)', l'équalion analogue

.-♦-1 x»îit

r f f /sinm'4-P?(||x)p'F(/>'p)rf4»rf(xrfp

44o TROISIÈME PART». — CHAPITRE III.

Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous Tenons de trouver pour les coefficients, et accentuons les variables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambiguïté sous les signes d'intégration les facteurs qui leur sont extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U l'expression

335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les termes de cette série triple dans un ordre convenable, on trouvera bien pour somme /*(^, a, p).

Laissons d'abord n etm constants, et bornons-nous à faire varier p de manière à lui faire prendre successivement pour valeurs les diverses racines positives de l'équation

supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous aurons à déterminer la valeur de la somme

(80) '^j"M^ll}p-*F„{pp)F„{pp')dp',

pour les valeurs de p comprises entre o et r. Nous verrons qu'elle est égale à/(ip', (x', p) [pourvu que cette expression, considérée comme fonction de p, soit continue et ait une variation limitée dans l'intervalle de o à r, quels que soient ^ et |jl'].

La somme (79) se réduira dès lors à la somme double

qu'on sait être égale ^/{^j p., p) [320].

Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé pour la somme de la série (80).

336. En cessaiil, pour plus de simplicité, de mettre eu évidence les quantités <}»', [x', n qui conservent une valeur constante dans toute cette recherche, cette expression peut s'écrire ainsi :

(80)' xV(p')P''''p'5;^"4^^-

La fonction F{pp) satisfait à Téquation difTérentielle ^ P' J^ + [P^9^-n{n -r- I)] ¥(pp) -^ o, et, comme elle est symétrique en p et/>, on aura aussi (8.) -^-P'^^^-^ +[p'p*-n(n + i)]F{pp) = o. On a de même

En combinant ces deux équations, on trouve

(p"-p«)/,>F(pp)F(/)p')

„, ,, d .dF(pp) „, . d ,dF(pp') ,, ,

en posant, pour abjéger,

?(/>) -/>' [P(PP') ^p^iPP) - F(/>?) ^ F(;>p') =/>'[pF(/>p')F'(;>p)-p'F(/>p) F' (/»?')].

on aura, par suite,

(8,) F(pp)Fipp') = ^^^—,.

Nous avons trouvé d'autre part

Pour transformer cette expression, nous remarquerons qu'on a

ôr r \r / r dp

ce qui permet de mettre K^p sous la forme

et de donner à Téquation à la surface

la forme suivante :

(84) p^lS^^\\rY{pr)^o.

Désignons par ^(y?) le premier membre de cette équation ; l'identité

(85) y,^-^^+HrF(/>r) = i-(/>),

étant difTérentiée, donnera

,^- à àF{pr) ^ „ âF(pr) ,,. ,

(^^^ d^p—dp-^^'—ôjr-='^^p^-

Enfin, pour p = r, l'équation (8i) peut se mettre sous la forme

i „<^ „àF{pr) dF(pr)

87) \Pài.P-d]^-^P—o7-

( -h[p^r^— n{n-^i)]¥{pr) = 0.

Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de „/ , d¥{pr) â âF{pr) , , ., , ,^^^

^{P^)^ -OjT^' TpP ~%~ '^'''''' substituer dans (83),

il viendra

en posant, pour abréger,

p'^r^ ,i(n -+- 1) — Hr(i — HV) = Q(/>). On aura^ par suite,

¥(pp)¥{p',') ___ ^(){p)^'(p)

337. Il est aisé de voir que cette expression est le résidu ^ pour le pôle z = p, de la fonction

En effet, posons z = p -\r h; on aura