Q(5)=Q(/>) + AQ
Le résidu cherché sera donc
Or la quantité entre parenthèses est nulle. En effet, les équations (85), (86) et (87), résolues par rapport à -^p — ^ — >
^?^^.F(/>r), donnent
-àT'
444 TROISIÈME PàITIB. — CUAPITHB III.
Substituons cette expression et sa dérivée dans Téquation (84)- li viendra, en tenant compte de ce que <!>(/') est nul,
r(i-iirW(p) + ^'(p) + pY(p) p¥(p)Q'(p)'\ '^L Q{p) QM/>) J
Hr/>4/(/>)
ou, en réduisaDt et divisant par ,^^^ , ^
338. On remarquera d'ailleurs que, pour ^ = o, la fonction yj^z) n'est pas infinie, car 0(2) contient le facteur 5* qui figure au dénominateur. Donc x(^) ^'^ d'autres pôles que les racines />, et l'intégrale
^Jxi^)d=,
prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de Taxe des y, sera égale à la somme
y F(pp)F(pp') ^
bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce contour.
Les termes correspondants de la somme (80)' donneront rintégrale double
(88) f /(?')?" dp' ^JyS=)dz.
339. Prenons pour contour d'intégration (^Jig, 9) le rectangle MNPQ qui a pour sommets les points B/, A-f-Bi A — B/, — B/, A étant une quantité réelle de la forme
OÙ k est un entier, etB une autre quantité réelle, très grande par rapport à A. En faisant croître indéfiniment l'entier A", ce rectangle contiendra un nombre de' racines de plus en plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant la limite de l'expression (88) pour k =^ co.
Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il nous suffira de faire voir : i° que l'intégrale
où b est une quantité variable entre o et r, reste constamment inférieure à une limite finie; 2" qu'elle tend uniformément vers ^ lorsque k croît indéfiniment, tant que b restera
Fis- 9-
fi
inférieur à p — c ou supérieur à p + e, e étant une constante quelconque.
En efl'et, l'intégrale ( 88)' étant décomposée en deux autres, où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement pour valeur (t. II, n** 221)
i/(p-o) et -i/(p4-o).
446 TROISIÈME PARTIB. — CnAPITRB III.
Leur somme sera donc égale à /(p), puisque cette fonction est supposée continue.
Nous remarquerons d'abord que ^(5) étant une fonction
impaire, les éléments de l'intégrale / ^- ^ ,^ prise sur le
côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, y^(z) prenant des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symétriques par rapport à l'axe des x, le reste de la ligne d'intégration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure KNM , à la condition de doubler la partie réelle et de supprimer la partie imaginaire du résultat obtenu.
