Posons pour abréger
nous aurons (217) pour F(g) = s -J t(s) une expression de la forme
prie / f \ \
(90) F(5).r:— A--, .'(a + 0) + sin(--X)0„
0, 6| étant des polynômes en — • La dérivation donnera pour
F'(3), F"(^) des expressions analogues
(91) F'(3) r^-- -"li-y:l) (a + 0,) C0S(5 - X)0„
(92) F'(^) ...- 5^(---'::A} (a + 0,) !- sin(5 - X)0„
O2, ...,05 étant encore des polynômes en — •
Soit z= u-h ti, t étant positif ou nul. Le module des
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉES PARTIBLLBS. 4^7
quantités
COSiz — X):= ' ,
sin(5 — X) =: .- >
sera compris entre
et — >
et, par suite, moindre que e'. En particulier, si t est très grand, il se réduira sensiblement à 4e'.
D'ailleurs, si le module y/w^-i- t^ de ^ est >> i, les modules des polynômes 6, • . • , Q5 seront limités ; et si | ^ | est
très grand, ils seront du même ordre de grandeur que | — r^-
Les modules des quantités F(z), F'(;;), F"(z) seront donc, si t est très grand, sensiblement égaux à
et seront, dans tous les cas, moindres que
l désignant une constante.
Ce dernier résultat, que nous venons d'établir en supposant 1^1 >-i, subsiste évidemment encore si |z|^i; car,
dans cette hypothèse, j — : est au moins égal à i, et, d'autre
part, les modules des fonctions entières F(5), F'(5), F^(z) restent inférieures à une limite fixe.
341. Il est maintenant aisé de trouver, soit la valeur approchée, soit une limite supérieure du module de chacun
des facteurs de la quantité
qui figure dans Tintégrale (89), lorsque \z\ est très grand,
ce qui a lieu sur toute la ligne d'intégration.
20' On a tout d'abord — ^ <; 2. En second lieu,
Q(5) — r*;5*-- «(n -h i) — Hr(i — Hr),
a son module sensiblement égal k r^\z \^. On a, d'autre part,
^(z)=z^^^^^ -hHrF(rz)
= rzF'(rz)-hUrF(rz).
Sur le côté horizontal du rectangle, où 5 == w -+- B/, u variant de o à A et B étant très grand, les modules de F(r5 :,
a e^^ F'(rz) seront sensiblement é^aux à ; — . et l'on aura sen-
siblement
\^(z)\=-eri>.
Sur le côté vertical, où z = A-^ ti, t variant de o à B, on aura, en remplaçant A et X par leurs valeurs,
rz — \-- rA — X H- rti=z [2k — ^)ir -^ rtiy d'où
sin(r5 — X) — : — cos rtiy cos(r-3 — X) := sin rtij et, par suite,
^(z) =-- rz J — r:"[* ~^" ^sC'''')] '^ sinrti^3{rz)\
-hHr -^ — [a -h ^(rz)] --cosr/£0,(r5)[.
On en déduit
(93 ) ^^{z)z=a^ cos^rti{i 4- M 4- M' tangra' ■+- M" tang*rfi).
M, M', ]VF, M''' étant des polynômes formés avec les puissances négatives de A-h^/; A étant très grand, ces polynômes ont lears modules très petits; d'autre part, lorsque t varie de o à oo, inng rti varie régulièrement de o à î; donc on aura sensiblement
H/«(5) I — a«cosV^/= -;r(c'-'-+-e-'"')«> — e""'.
Considérons enfin ie dernier facteur,
P'9(^) ,\?¥(?'z)F'(pz)~-p'F(pz)¥'{p'z)l
Il peut se mettre sous la forme ^ ' I ¥{p'z)F'(pz)-^F(pz)F'{p'z)
Or on a
expression dont le module a pour limite supérieure
pVI^I,
p —p p — pj
|x désignant une limite supérieure du module de F^(xz); or ce dernier module est moindre que
xz \ pp'\z
car X, variant entre p et p', qui sont eux-mêmes compris
Où'
entre o et r, sera << r, mais > -^'
On a donc pour limite supérieure du module cherché l'expression
J. -- Cours, IIL 29
45o TnOISIfiVB PABTIB. — CHAPITBB III.
Le même procédé, appliqué à l'expression
donnera pour son module la même limite.
Substituant pour ces quantités, ainsi que pour F(ojs), F'(p5), . . ., les limites de leurs modules, il viendra
D'ailleurs, p' étant ^r et \z\ étant très grand, le second terme de cette expression sera négligeable par rapport an premier.
342. Il résulte des évaluations qui précèdent que, sur le côté horizontal du rectangle où ^ = B, et où |5| est sensiblement égal à B, l'intégrale (89) s'annule pour B=oo; car on aura
'^du
(A désignant le maximum du module de p'^xC^)" lequel, d'après ce qui précède, ne peut surpasser sensiblement la quantité
qui s'annule pour B = 00, car elle contient en dénominateur l'exponentielle e^''~9^^.
Considérons maintenant l'intégrale suivant le côté vertical, laquelle, pour B = 00, se réduit à
Elle a une valeur limitée, car son module est au plus égal à
[JL désignant une limite supérieure du module de p'^y (A-h ^/). Or I 5 I étant ici égal à y/AM^, [J^ ne peut surpasser sensiblement l'expression
laquelle donne une intégrale finie, à cause de la présence du facteur e^'*~P^' au dénominateur.
jN'ous allons enfin démontrer que l'intégrale, suivant le côté vertical, tend uniformément vers | pour A = oo, quelle que soit la valeur constante ou variable assignée à 6.
A cet effet, nous remarquerons d'abord que l'on peut supposer 6> Y' En effet, si b était <[ -r9 on pourrait décomposer le champ d'intégration relatif à p'en deux autres, s'étendant l'un de p à -.-> l'autre de j k b. Le module de l'intégrale relative à cette seconde partie du champ est au plus égal à
\i.dt
et a fortiori à ^ / P* ^^' quantité indépendante de 6, et qui
s'annule pour A = oo. On n'aura donc à considérer que la première partie du champ.
