Supposons donc 6> r-« Pour déterminer dans ce cas

la valeur limite de l'intégrale, il ne suffira plus d'assigner comme on l'a fait jusqu'à présent, une limite supérieure à son module; mais il faudra analyser avec plus de précision la nature des facteurs de '^{z).

Considérons d'abord le facteur

o(c)z.:2'[pF(p^-)F(pi.)-p'F(px;)F(p'^)].

Substituons aux fonctions ¥[çz), . . . leurs valeurs

F(p;?) = ^- ^IP-'^Z: ^J [a 4. e(p5)] ^ sin{pz - X)6,(p-s),

4^3 TROISIËIIB PISTIB. — CHAPITKB III.

il viendra

isin(p's-l)cos(|.c — l)[.'p'-l-D -cos(p's-»)!iB(p»-X)[.'i> -i-D .|-.in(p'=-X).in(p=-l)D- + co5(p's-l)cos(ps— 1)Dchacune des quantités D, IV, D", D'" étant une soi tractions simples, de la forme

En faisant usage des formules

.!■/,', li™.(,- n «inr(p+p')'— 'X]-l-sin(p sm{p 3 — X)cos(p X)^

on peut mettre cette expression sous la forme

( -+-cos(p'— p)3E°-i-cos[(p'-+- p)s — a> E, E', . . . étant de la môme forme que D, D', ....

D'ailleurs, pour p' ^= p, (p( ;) s'annule identiquemeii E', E', E'" s'annulent. Si donc une de ces fondions c la fractioD simple

f'-'f-'"-"*'*'' elle coQticndra son associée

Cette fraction, ajoutée à la précédente, donnera ud de la forme

''''~'''Sp>p'°.-U.' ■"■Y + ?=l' + v-,.

On aura donc

F', F*', F"' étant des sommes de fractions simples, de la forme

.^Py

Substituons, dans les arguments des lignes trigonométriques, la valeur ;: = A-t- ^^ et séparons la partie réelle de la partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remarquons enfin que 2X ne diffère de arA que par un nombre impair de demi-circonférences; il viendra

««/ «r-N r sin(p'- p) A cos(p'- p)tn faV , . . . p'I

r- cos(2r-p-p')Asin(p'-T-p)/n /«* A

■^L sin(2^--p-p')Acos(p'-^p)//J^^ P\ 2 ^ / r cos(p'— p)Acos(p'— p)/n L- sin(p'-p)Asin(p'-p)^£j^P ^^

r- cos(2r - p - p') A cos(p'-r- p)an