L- sin(2r-p-p')Asin(p'-i-p)^/J^P

344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E. F', F", F'", considérée comme fonction de p' et de /, est de la forme

, où V ^ fx.

Elle peut s'écrire

^ ' ^^ M m \ PtÊ.

Chacun des termes de cette somme est le produit d'une puissance de i par une fonction de p', A, f , continue, réelle et positive dans tout le champ d^intégration. Cette fonction sera croissante de p' = p à p' = 6, si 6 < p. Si 6 >> p, on pourra ia décomposer dans la différence des deux fonctions partielles

pî^ (Â*T^ ®^ \p?""^y (AM-^*)^'

également continues et positives, dont la première ne varie pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p à &.

D'ailleurs A et r étant au plus égaux à y^A^-j- i^ et p'au moins égal à r- dans tout le champ dUntégration, le module de la fonction considérée aura pour limite supérieure

et, si 6 >^ p, les modules des deux fonctions partielles dans lesquelles on la décompose seront moindres que

Ces diverses fonctions tendent donc uniformément vers G pour A = 00, quels que soient p' et t. D'autre part, la fonction

Q(z) /i(/i-f-i)-i-Hr(i-Hr)

est de même égale à r^, plus la somme de quatre termes, dont chacun est le produit d'une puissance de e par une fonction positive de /et de A, qui tend uniformément vers o pour A=oc, quel que soit /.

On a enfin

^^(z) — oL^ cosV// (i -h M 4- M' tangr/i -h M' tang'r/*).

Chacune des fonctions M, M', . . ., étant une somme de

termes de la forme

s'exprimera par une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction continue et positive de / et de A, qui tend uniformément vers o pour

D'ailleurs, lang/7/ est le produit de i par une quantité comprise entre o et i. On aura donc

, 4 M -h M' tangr// -f- iM^^ tangV/f --- 1 4- ? -^ P7 — P'— P'i;

P, P', P', P'' étant des fonctions continues et positives qui

fiQOATlONS AUX DÊRITÊBS PART1BLLB8. 4^5

tendent uniformément vers o pour A = oo, rexpression

I j M -f-M' iSLngrti-hW tangVn* "" (i -hP — P')»4-(P'— P*') sera évidemment une fonction de même forme.

345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour l'intégrale cherchée

l'expression suivante

r sin(p' -p)A /--cos(p^^p)a\,r'

. ^^os(p'-p)A^p' rsin(p---p)// n^^^

+- / sin(2r— p — p')At/p' / Ul- r-L p' «^ L^/

/ "^ '^Jo cos«/7£ p'-f-p

sin(p'-(-oU/ ,i-hR|

,, r : 1 ' Vo cos«/-fi p-4-p