D'autre part, les intégrales

, I — cos(^ — p) \

f sin(p'-p)Arf?'= i

r / / \ A ^ / sin(^> — p)A / cos{p'—p)kdp'— X '

f. , /VA ,, cos(2r — p — 6)A— cos(2r — 2p)A sin{2r — p--p')Adp'= ^ ^ — ,

sin(2r — p — 6)A — sin(2r — 2p)A

I cos(2r — p — p')Adp'zii —

sont limitées et, pour A = oo, tendent uniformément vers les limites respectives -> o, o, o, o.

Soient

l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de l'intée:rale

f ?(p',A)/(pSA)^.o' Jp

par la méthode employée au tome II, n** 221. On a, en effet, X désignant une constante,

/b X.PH-X ^b

Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de la moyenne ; il viendra

f ?(p',A)/(p',A)rfp' =/{p^\,.ii)f ^(p',k)dp'-^/{b,\)f ç.(p',A)rf?'.

Pour A =00, les deux intégrales ci-dessus tendent uniformément vers zéro (pour plus de détails, voir Tendroit cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro (ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A).

Reste la première intégrale

P -hX

-=/(?, A) f cp(p',A)«fp'+r^" [/(p',A)-/(p,A)]cp(p',A)*'. Jp Jp

Le premier terme lend, pour A = 00, vers Glini/(p,A).

Appliquons à l'autre le second théorème de la moyenne; elle devient

Ç étant compris entre p et p 4- ^.

L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur tend d'ailleurs vers zéro pour A = 00, s'il dépend de A; sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en faisant décroître X.

Nous obtenons donc pour la limite cherchée

Glim/(p, A).

347. Tous les termes des intégrales (94) pouvant êlre traités de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la première d'entre elles, pour laquelle il est égal à -> la limite cherchée sera, en désignant par Ro ce que devient R pour

,. r rdt ( R„\

Mais, lorsque A tend vers 00, Ro tend uniformément ver» zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme

rdt

Posons e'''= u\ cette intégrale se transforme en

Doublant ce résultat d'après le n" 339, on obtiendra ->

ainsi qu'il fallait l'établir.