I. — Première variation des intégrales simples

348. Soit <f(^, J^, y, •.. ,^'";-3, 5', . . .,5", ...)une fonction de la variable indépendante x, des variables dépendantes y, Zj . , . et des dérivées de ces dernières jusqu'aux ordres m, n^ , . . respectivement.

Si nous changeons y, z, , . . en y -i- eti^ s -f- eÇ, ... (tj, Ç, . . . désignant de nouvelles fonctions de :r et e une constante infiniment petite)^*, z^, ... seront changés en ^*~r-e7i*, s* -h eÇ*, . . ., et cp en

4>(a7, e) = 9{a:, y -h eT), y' -^ etj', . . . , 5 -h eÇ, . . .).

('ette expression, développée par la formule de Taylor suivant les puissances de e, prendra la forme

en posant, pour abréger.

ày ày' ôy"^ ôz

Les quantités €91, e^o^i • • • &<i oommenl les variations

46o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

première y seconde, etc. de la fonction y, et se représentent par les symboles Sy, 8^<p, ....

On a, d'après cette définition,

ly — 6T,, 8/ — er/, ..., 8^ == eÇ, ...; û^yr^O, 8V = 0, ..., S'^nrO,

Il est clair, d'ailleurs, que cpi, cp2, . • • ne sont autre chose que les dérivées partielles ^> "TT' *" P^ur la valeur particulière e = o. Or on a généralement

^i ^k^ ^ ^k ^i^ àx^ {Je* ~" SË^ àxt *

Pour e = o, -T-T- se réduira a o^^ = — 0*9 et -r-z -^r-r à

-^5*-T-^- Substituant ces valeurs dans l-équation précédente et multipliant par la constante e*, il viendra

^ ^ dx' ^ dx'

Cette équation montre que les deux opérations de la dérivation et de la variation peuvent être transposées.

3i9. Les équations (1), respectivement multipliées par e, £2, . . . , pourront s'écrire

^ av a y az

Si les fonctions y, z, • . . , au lieu d'être données immédiatement en fonction de x, étaient exprimées au moyen de j:, /,/',...; //, «', ... ; . . . , où t, iiy ... désignent des fonctions de x^ le changement de ces dernières fonctions en f -4- er, ?/ -h eu, ... transformerait^, 5, ... en ^-4- 8k -4- ^8*j^ -+-...,

CALCUL DES YARIATIONS. 46 1