I. — Première variation des intégrales simples

348. Soit o(Xj yj y^ . . . , y'^ ; -z, -s', . . . , s", . . . ) une fonction de la variable indépendante a:, des variables dépendantes y, Zy ... et des dérivées de ces dernières jusqu'aux ordres m, n, . . . respectivement.

Si nous changeons y, z, . . . en jv' -h £"^1, ^ -|- eÇ, ... (r^, Ç, . . . désignant de nouvelles fonctions de ^ et e une constante infiniment petite ) y^^ ^*, . . . seront changés en jk*-t- st/, z* -4- eÇ*, . . . , et (p en

Cette expression, développée par la formule de Taylor suivant les puissances de e, prendra la forme

en posant, pour abréger,

ày ày' dy"' dz

Les quantités £94, e^2>2, ... se oommeot les variations

46o TROISlft^B PARTIE. — CHAPITRE IV.

première, seconde, etc. de la fonction f , et se représentent par les symboles Sf, 8^ç, • • •.

On a, d'après cette déHnition,

ly r--eT„ 8/ —et/, ..., 8s =eÇ, ...;

II est clair, d'ailleurs, que f 4, ^3, ... ne sont autre chose que les dérivées partielles -r- > -^-^ > • • • pour la valeur particulière e = o. Or on a généralement

Pour e = o, -v-r- se réduira à Oj^ = -- 0*9 et -r-r -r-r a

(JE* ' E* * </£* djT*

-^8*-T-^- Substituant ces valeurs dans Téquation précédente et multipliant par la constante e*, il viendra

di d* o

Cette équation montre que les deux opérations de la dérivation et de la variation peuvent être transposées.

3i9. Les équations (1), respectivement multipliées par e, e^, . . . , pourront s'écrire

^ ôy " dy "^ dz

Si les fonctions^, ^, • . . , au lieu d'être données immédiatement en fonction de x^ étaient exprimées au moyen de Xj tj t\ . . .; Uj u', ... ; . . • , où t, Uf ... désignent des fonctions de Xj le changement de ces dernières fonctions en ^ + rr, M -h eu, ... transformerait y^z, ,. ,en y + ùy -4- ^8*^^ +

CALCUL DBS TARIATIONS. 4^1

-3 -f- S^ -i- ^ S*^ -{-.•'> . . . , et, par suite, (f en

=r «p -H 5<p-hA8»(p4-...,

OÙ

Ainsi 8^ conserve la même forme que si y, z étaient donnés directement en fonction dex; mais les variations suivantes seront modifiées par l'adjonction de nouveaux termes en 8^^%

sv, ••••

350. Proposons-nous maintenant de déterminer les variations successives d'une intégrale définie

I— / <p(;r, 7, /, ...,7'», 5, 2', ...,5«, ..,)dx.

Changeons y^z en ^ -}- 8/, ^ -+- 83, . . . ; <p sera transformé en

et I eu

(<p -H û(p 4- ^ 8*(p -h . . .) dx.

Séparant les termes affectés des diverses puissances de e, il viendra

=: / 8(p rfo:, 8*1 = 1 8*<p ûfo:,

Ce résultat suppose toutefois que les limites ^09 ^\ (le l'intégration sont des constantes fixes. Si nous admettons qu'en

/|6a TROISIÈME PàRTIB. - CHAPITRE IV.

même temps qu'on altère les fonctions j^, 2, ... on accroisse ,To, oc^ de quantités infiniment petites Sxq = e^o» 8xi = eçi, I subira de ce fait une nouvelle altération A'I, égale à

Chacun des termes de cette expression peut se développer sans peine suivant les puissances de e. En eflet, considérons, par exemple, le terme

8*<j> dx.