D'autre part, les intégrales

*sin(p'— p)A^p' ,

, I — cos(6 — p)A.

f sin(p'-p)At/p'^ ^

cos(p'-p)Ac/p'ir. A~ '

/ sin(2r — p — p')Aaf,o' =

cos(2r — p — 6) A — cos(2r — 2p)A

,, . ,, sin(2r — p — 6)A— sin(2r — 2p)A cos(2r — p — p')Acrp'— -^ — ^^ —

sont limitées et, pour  = oo, tendent uniformément vers les limites respectives -> o, o, o, o.

Soient

l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de Tintéerrale

par la méthode employée au tome II, n** 221. On a, en eOet, X désignant une constante,

Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de la moyenne; il viendra

=/(p + X,A)r <f{p',A)dp'-i-/(b,A)f o(p',A)rfp'.

Pour A =00, les deux intégrales ci-dessus tendent uniformément vers zéro (pour plus de détails, voir Tendroit cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro (ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A).

Reste la première intégrale

^/(p,A)r" <p(p',A)t/p'4- r^" [/(p^A)-/(p,A)]cp(p^A)*^ Jp Jp

Le premier terme tend, pour A = oo, vers G lini/(p, A).

458 TROISibMB PARTIE. — CHAPITRE IH.

Appliquons à l'autre le second théorème de la moyeDne; elle devient

[/(p + X,A)-/(p,A)]y^* ?(p',A)rfp',

Ç étant compris entre p et p -f- X.

L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur tend d'ailleurs vers zéro pour A = 00, s'il dépend de A; sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en faisant décroître X.

Nous obtenons donc pour la limite cherchée

Glim/(p, A).

347. Tous les termes des intégrales (94) pouvant être traités de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la prc«

mière d'entre elles, pour laquelle il est égal à -> la limite

cherchée sera, en désignant par Rq ce que devient R pour

r T... r'" dt (\ Ro\ hm / — —-. p - -i- —

1Cp2A:^«/^ COs2/-r£'\2 2p/

=r li A

. r" rdt [ Ro\

Mais, lorsque A tend vers 00, Rq tend uniformément vers zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme

rdt

Posons 6''^=^ u; cette intégrale se transforme en

Doublant ce résultat d'après le n° 339, on obtiendra -> ainsi qu'il fallait l'établir.

TROISIÈVB PARTIE. -- CHAP. IV. — CALCUL DBS VARIATIONS. l\Og