k La formule de Taylor donne
[8*ç]i , ... représentant les valeurs de S*© et de ses dérivées pour X = Xi {y^ y ^ . . . , 5, ... étant en même temps remplacés par les valeurs j^i, j^j, ...; Zi, . . . qu'ils prennent pour
Multipliant par r et intégrant de Xi à :riH-5xi, il
viendra, pour valeur du terme considéré,
Chaque terme de l'expression (4) étant développé de même, on obtiendra, en réunissant ensemble les termes de même ordre en e,
Réunissant ces termes à Tautre partie de la variation déjà obtenue précédemment, il viendra, pour la variation première
CALCUL DES VARIATlOIfS. 463
del,
pour la variation seconde,
331. On peut arriver au même résultat d'une autre manière, en transformant l'intégrale
par un changement de variable, de manière qu'elle ait les mêmes limites Xo, x^ que l'intégrale primitive. Posons, en effet,
?tt étant une fonction arbitraire de ^, affectée du coefficient e et assujettie seulement à se réduire respectivement à oj?© et SjTi pour ^ = jTo et ^ :== ^, ; on aura
OU, en écrivant x au lieu de t^
l-^M= j ^{x-h^Xyz) [dx-hd^x]
I 4> ! 0^ 4 .^ 0^2 4- , . . Udx -^aox)
J,. L àx 2 J
~ * ÔJ7 -{- !...-!-/ ^ax;
TROISiftHB PARTIE. — CHAPITRE IT.
mais on a
dx
dx dx
a dx
Substituons ces valeurs dans Texpression de I+AI, et separons les termes de même ordre en e; on trouvera, pour oL S^I, ..., les mêmes expressions que tout à l'heure.
352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier non seulement l'expression de j^, z, ... en fonction de la variable indépendante x^ mais cette variable indépendante elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces saire, lors même que les limites x^y x^ restent fixes.
Considérons, par exemple, l'aire comprise entre l'axe des x
Fig. 10.
et la courbe figurée en ligne pleine par la fig. lo. Elle sera représentée par l'intégrale
j ydx,
où l'on donnera à x la série des valeurs successives qu'il prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée correspondante.
Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle
que la fi^re représente en pointillé, et proposons-nous d'évaluer raccroissement de Taire lorsqu^on passe de la première courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suiïiia pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première courbe en laissant Tabscisse constante; car il y a sur la seconde courbe des points auxquels ne correspond, sur la courbe primitive, aucun point ajant la même abscisse. On pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps que les ordonnées.
353. Cela posé, Fobjet principal du calcul des variations est la solution de la question suivante :
Les fonctions jk» 2, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie, achever de les déflnir, de telle sorte que la valeur de l'intégrale I soit maximum ou minimum.
D'après cet énoncé, si l'on donne k y, z, . . ., Xq, x^ un système quelconque de variations infiniment petites 8^, 83, ..., 8x0, 8x1 compatible avec les conditions imposées par renoncé du problème, l'accroissement
qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum).
Or, 6 étant infiniment petit, l'ensemble 81 des termes du premier degré sera prépondérant et donnera son signe au résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très généralement) qu'à chaque système de variations 8^, 85, . . ., hx^^tx^ compatible avec les conditions du problème, correspond un second système de variations — hy^ — 8-3, ..., — 8^©, — ^^\ jouissant de la même propriété, ce nouveau système de variations donnera à I l'accroissement
— 8l4.|8îl...,
J. — Cours, III. 3c
qui sera de signe contraire au précédent, à moins qu'on n'ait 81 =^ o.
Nous obtenons donc cette première condition pour l'existence d*un maximum ou d'un minimum :
La variation première 81 doit s* annuler pour tout système de variations Zy, 85, ..., S^;©, Sxi compatible avec les conditions du problème.
334. Cette condition détermine, en général, ainsi que nous le verrons, ce qui reste d'arbitraire dans la définition des fonctions^, >s y ... et des limites Xq, ^4* Mais elle n'est pas suffisante. Il faudra en efiet s'assurer que, après avoir ainsi déterminé ces quantités inconnues, l'accroissement de I pour une variation infiniment petite (compatible avec les conditions du problème) conservera toujours le même signe; d'ailleurs, 81 étant nul, cet accroissement se réduit à
Le terme prépondérant de ce développement, ^8^1, ne devra donc pas changer de signe, quel que soit le système de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont admissibles. Cette seconde condition sera évidemment suffisante si ^8^1 est toujours différent de zéro. Mais, s'il existait un système de variations qui annulât 8^1, il n'y aurait ni maximum, ni minimum, à moins que ô8'I, qui est d'oidre
impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il resterait à discuter le signe de 8*1, etc.
Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les conséquences de la première condition
