L'étude des variations de l'intégrale

r^dx.

où f est une fonction de x, des variables dépendantes y^^ r2, ... et de leurs dérivées successives, ces variables pouvant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équations difTérentielles

se ramène immédiatement au cas où (f, ^i, ... ne contiennenty avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées premières.

Supposons, en effet, que j>^i, par exemple, figure dans ces expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n. Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les dérivées jk'^j •••> J^"~*î pourvu qu'on joigne au système des équations «j;| = o, iJi2 = o» ••• celles-ci :

dx"^'' "' dx -•^^ '

y[ étant d'ailleurs la dérivée première de J^""\ on voit que la fonction <p et les équations de condition ne contiendront plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières. Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues y\i *"fym', que ces fonctions, leurs dérivées premières et la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale

dx

et dans les équations de condition

5oO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

Désignons par p le nombre de ces dernières équations. Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x^. X\ de l'intégrale et les valeurs correspondantes des fonctions y soient des quantités fixes données. Cela posé, cherchons à rendre l'intégrale maximum ou minimum.

374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, comme on Ta vu plus haut, en annulant la variation première de l'intégrale

ce qui fournit les équations différentielles suivantes

ôyt dx dyi

que nous combinerons avec les équations de condition

dF (2) ——^i^o (/ = i, 2, ...,/?).

L'intégration de ce système donnera en général les inconnues ^ et )v en fonction de :r et de im constantes arbitraires.

En effet, remplaçons les équations <{^/=o par leurs dérivées --— = o. Le nouveau système obtenu

.^. dP d dY d^i

contient les dérivées de ^',, . . ., ym jusqu'au second ordre, celles de X|, ..., \p jusqu'au premier ordre. Il sera donc d'ordre im-^ p et fournira les inconnues y elXen fonction de X et de 2m-\'p constantes arbitraires. Ces valeurs, substituées dans les expressions t}//, les réduiront à des constantes f puisqu'elles annulent identiquement -^' ) • En écrivant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa-

CALCUL DES TARIATI0N8. 5oi

lions de condition qui déterminent p constantes d'intégration en fonction des autres.

Les 2/n constantes qui restent seront déterminées à leur tour par la condition que^j, . . ., y m prennent pour chacune des deux limites x^ et x^ les valeurs qui leur sont assignées.

Le problème d'annuler la variation première de Tintégrale est donc en général possible et déterminé.

On doit toutefois remarquer que Tordre du système (3), et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si Ton pouvait éliminer les dérivées j^* , . . ., ^]J„, X, , . . ., X^ entre les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le

jacobien J des fonctions -y-r» ^/ par rapport aux quantités j^

et \, Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en général impossible d'annuler la variation première de l'intégrale; car les constantes d'intégration seraient en moindre nombre que les équations aux limites auxquelles elles doivent satisfaire.

375. Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un système canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui du n- 357. )

Prenons, en eflet, pour variables auxiliaires les quantités

Les équations

permettront d'exprimer les quantités y^ \ en fonction des variables^, /?.

Posons, d'autre part.

H = J/'-ri

5oa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 17.

On aura

dH =

Mais les termes en dy^, dXi disparaissent en vertu des équations (4)« On aura donc, en supposant qu'on exprime H au moyen des variables^ et jd,

D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire

dF

ày'i

On aura donc, pour déterminer les variables j^, /?, les équations canoniques ... , dW , dH

376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait (260) que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme

(6) d^=^" dit^^' (*^i,2, ...,m),

V étant une fonction des variables x, yi et de m constantes d'intégration ai , . . ., a;,t 6t les quantités pi, . . ., ^m étant les autres constantes d'intégration.

La résolution des équations précédentes donnera les valeurs des y^ p en fonction de x et des constantes a, p. Les équations (4) donneront ensuite les quantités j^, X; enfin les conditions aux limites détermineront les valeurs des constantes a, p.

377. Mais, pour être assuré de l'existence effective d'un maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier la variation seconde 8^L Si celle-ci ne peut s'annuler pour aucun système de valeurs admissible des variations 8^, elle con-

CALCUL DBS VARIATIONS. 5o3

servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou maximum, suivant qu^elle sera positive ou négative. Si, au contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maximum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe avec les variations S^; il ne pourrait y avoir incertitude que dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps que la variation seconde.

Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à rechercher si 8^1 est ou non susceptible de s'annuler.