dasi -+- Ciiz'i

étant homogène et du second degré par rapport aux quantités ^, z'^ |JL, on aura

Substituant celle valeur dans l'expression de S^I et remarquant que les équations de condition (7) ne sont autres que les suivantes

il viendra

Intégrant par parties les seconds termes et remarquant que^< s'annule aux deux limites Xq et :ri, il viendra

On pourra donc annuler 8^1 si Ton peut déterminer les quantités z^ [jl, de manière à satisfaire aux équations

, ^— — iL ^- — o

dz( dx dz'i ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zi

CALCUL DBS VARIATIONS. 5o5

des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre x^ et Xi y mais qui s'annulent au& deux limites.

379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'équations différentielles entre les variables z, \t. tout à fait analogue au système (i), (a). Il sera également d'ordre 2m, pourvu que le jacobien J| des expressions

dû âQ

par rapport aux quantités ^), [X/ ne soit pas identiquement nul. Or, d'après l'expression de Q, on voit que les éléments de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où Ton a substitué, pour les quantités j^, leurs valeurs en fonction de X. Nous admettrons que, même après cette substitution, le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en particulier, il n'est pas nul pour x =^ Xt,

Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités

(10) "'^ïï::'

Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quantités z' et [X en fonction linéaire des quantités z et u. Ces valeurs, substituées dans l'expression

Ri—Suiz'i — Q,

la transformeront en une fonction homogène et du second degré des quantités z, u] et l'on aura, pour déterminer ces quantités, les équations canoniques

(11) Zi=.—-^, i^~- î,

dui âzi

dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par rapport aux inconnues Zy u.

5o6 TROISIÈVE PARTIE. — CHAPITRE lY.