Les équations (lifTérenlielles linéaires

(13) O rr: -^~, ~ Ui — \ [bkiZk->rCkiZ\:\ -h\ ez/fl./— «,-,

^'^^ ^ "^ dzi -Z^d^, --2^[aa-z,-^ b,kz, + c/,,ixj - 1/,-,

auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aux équations

dont l'intégration nous a fourni les valeurs des quantités j^-^ A en fonction de x et des constantes (l^j . . . , a;„ ; ^1 , . . . , ^0,. En effet, substituons ces valeurs dans ces dernières équations ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient les constantes a et ^. On pourra donc les difierentier par rapport à Tune quelconque c de ces constantes. Effectuant cette différent! ation et posant

àyi^ àyi^^f àpt^^ àh__^^

dF-^'' "cfc-^" dF-"'' -â^-^'^

on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4)-

Prenant successivement pour c chacune des 2 /n constantes a, p, nous aurons donc 2 m solutions particulières de ces équations. On en déduit, en désignant par A^ et Bj^ des constantes arbitraires, la solution plus générale

CALCUL DBS YARlÀTIONS. 607

Les équations (i i), qui se déduisent de la combinaison des équations (12) à (i4)j admettront donc comme solution les valeurs de jS/, ui données par les formules (i5) et (16).

381. Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées partielles y-^> ~'^ y •••> -jA-> qui figurent dans les expressions

précédentes, restent continues entre Xq et x^ ; 2® que les seconds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse les constantes A, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles

Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme conséquence que les a/n solutions particulières obtenues pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La solution générale des équations (11) sera donc donnée par les formules (i5) et (iCI), et celle des équations (12), (i3), (i4) par les formules (i5) à (18).

Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le déterminant

' àyx dyx ^Y^ dy,

ày

àym

ày„

àpx

àpi

ÔT-m

àpm

àpjn

dpx

dpm

ne pourra être identiquement nul.

Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un produit de deux autres déterminants. En effet, les équations

intégrales

àyt

~Pi

(où V ne contient ni les p ni les P), différentiées par rap-

5o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.

port aux constantes a^ et (3^, donnent

àfk " jL^àVi^fH 0?k'

Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m dernières lignes du déterminant les m premières, multipliées par des facteurs convenables, il viendra

ÔVy

àym

àfi 0:^1

àvi ôy.,n

àym

dym d^i

dfm à-

'tn

en posant

ày^

àym

A.ucun des deux déterminants D|, D2 ne peut donc être identiquement nul.

382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que S*I ne puisse s^annuler.

On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler si l'on peut déterminer les rapports des constantes Âj^, Ba, de telle sorte que les valeurs des Zi fournies par les équations (i5)

CALCUL DRS VARIATION*?. Sog

s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Ço* (i de la variable a:, comprises entre Xq et x^ ,

En effet, posons Sv/ = tZi entre Ço et J,, et S/i=^ o dans le reste de l'intervalle ^o^i-

Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement nulles dans tout Tintervalle entre Xo et x^ ; elles satisfont aux équations de condition (12); enfin entre Ço et ^i, seule partie de Tintervalle où elles ne soient pas nulles, elles satisfont aux équations (i3) et (14)9 équivalentes aux équations (9); elles annulent donc tous les éléments de l'intégrale S^I.

Pour que les rapports des constantes A^^, Ba puissent être déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il suffit que le déterminant

A(Ço,?i) =

soit égal à zéro.

Donc, pour que 8^1 ne puisse s'annuler, il faut tout d*abord qu'on ait

de quelque manière qu'on choisisse ^o et Çi entre Xq et x^ . Posant en particulier Ço = ^o) on devra avoir

(19) ' £i{xo,x)>o

pour toute valeur de x';>Xq et^Xt.