Pour déterminer les autres conditions qui, jointes

5lO TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE IT.

à (19)* sont nécessaires et suffisantes pour Texistence d*un maximum ou d'un minimum, il nous faut transformer Texpression de 8^1 de manière à faciliter la discussion de son signe. Cette transformation repose sur deux propriétés de nos équations difTérentielleSy que nous allons établir :

I® Les équations différentielles qui déterminent les quantités^, p ont pour intégrale générale les équations

Prenons la différentielle totale des équations de droite en traitant x comme une constante ; il viendra

Substituons cette valeur de d^i dans l'expression de la différentielle totale de dy^

"■^-Kfe'^'-t*')

elle deviendra

et, comme les équations (20) n'établissent entre les y et les a aucune relation indépendante des quantités p et ^, les coefficients de chaque différentielle devront être égaux dans les deux membres. On aura donc, en particulier, en égalant à zéro le coefficient de e/a/ (après avoir permuté dans la somme double les indices de sommation h et i),

d:ti Zuhàtidy^h <^pA

Substituons la valeur de ■— tirée de cette formule dans l'expression

CALCUL DP» YARIÀTlOIfS. 5ll

elle deviendra

et ne changera pas si Ton permute k eX k\ car cela revient évidemment à permuter les deux indices de sommation i et h. Nous obtenons donc cette première relation

384. 2** Les quantités y^ p satisfont (375) aux équations canoniques

, diï , an

Prenons la dérivée de ces équations par rapport à l'une

quelconque c des constantes a, ^. Il viendra, en désignant,