Toutes les solutions de nos équations s'expriment
CALCUL DBS VARIATIONS. 5l3
linéairement en fonction des 2m solutions particulières
dyi dpi \ •' -k » ■ * •> j» > • • • ) î
dyt âpi \ dyi ôPf \
Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes
particulières
(S*Sa), (T,.Sa), (T^^Ta).
Il faudra, pour cela, chercher la valeur de Texpression
làpi dyt dyj^ dpj i\dc de' de de'
c et c' désignant deux quelconques des constantes a, ^. A cet effet, recourons encore aux équations intégrales
d\ dV «
dyi ^'' d^i P"
En dérivaut les premières par rapport
à c, il
viendra
d^\ 1 V^ d'y dy,
dyt de Zàkdyidyk de
dp, de '
On
aura
, par suite,
dpt
dy Y ^y^ ^'"^ , V V
àyu
dyt
^i de de' ^idd dyide ^t^kdyidyk de de'
La somme double ne change pas si Ton permute c et c', car cela équivaut à permuter les indices de sommation i
J. — Cours, III. 33
5l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.
et k. On aura donc
i\dc de' de de' ) Zdi\àc' dyidc de dyi de' / On a d ^ailleurs
V ^ Jiy. — ^ ^ ^
Zdiàe' dyidc de' de dcdc'^
en désignant par ^, -^ la dérivée complète de -^ par rapport à dj en tenant compte de ce que les^ sont des fonctions des constantes c. On a de même
dYi d'W d dW d'y
\t àe dyi de' ~ de de' de de' et, par suite,
fdpi dy^dyi dpA __ ± à\ d^ àV i \ de de' de de' ) ~ de' de de de'
Cela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes p, on aura, si c = P* et (/ = ^a»
dW d\
de- ""^ ^-"^'
d'où
(T;tTA)---0.
Si c = a^t et c' : = a;^, on aura, en vertu des équations (20),
d\ dV
de d^k
Al
d'où
On a de même
et, par suite,
de' de ~~ doL^'"'^^'
d dW de dc'~^^
(SaSa)=o.
CALCUL DES TARUTI0N8. 5l5
Enfin, si c = ^a et </ =r a>i, on aura
doû
dY dV ^
de - " ^» 5? "" P*'
de de' de' de '^ d^^^^ '^ \ i si h=ik.
Nous trouvons donc
(S*Sa) -o, (T^T,,)^o,
