Considérons maintenant deux solutions quelconques
Rp ~~y [A;tpS;t-<- ^ApTjt],
R<r^ \ [AA^jS^-hB/idT^].
On aura y d'après les formules précédentes,
rR R ^-V V r A^P^^^(SAS,.)-4-A;tpBy,cr(S;tTA)-| ^npn^J "AZ^AUB;tpAAcr(T*Sy,) + B*pB;,er(T;tT;,)J
Assignons aux coefCcients A^p, B^p; Aj^^y B^a les valeurs particulières
où ^ désigne une constante quelconque ; il viendra
<«'' <«'■''' =L[(t).(fe)r(.^X(t)J=-
car le second membre de cette expression, se déduisant de celui de Téquation (21) quand on y change i, A*, k' en k, <r, p
5l6 TROISlt» PARTIE. — CflAPITRB IV.
et qu'on attribue à a; la valeur particulière Ç, est identiquement nul.
En posant successivement p = I9 2, ..., m, nous obtiendrons un système de m solutions
n j —-(..., Zii , . . . , M|| , . . . ) >
**/n — - V • • • j ^imy • • • > ^im} • • • J>
tel que l'on ait généralement
388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G, formé avec les quantités
Pour Tobtenir, formons le produit du déterminant
dOLi
ày\
ày^
âoLi
àyn.
àYm
àym
par le déterminant
dyi
dji d»!
dYm
dv
CALCUL DES TARlÀTlOlfS. 5l7
Il viendra^ en tenant compte des équations (ai) et (24)1
àvm àym
•^11 — ^ml
\à?Ji ■■■ UlA
•Im '*»mm
et, comme D| n'est pas nul, on en déduira
Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la constante Ç, de telle sorte que Ton ait
dans tout Tintervalle de Xo ^ Xi.
Les quantités Z|p, . . ., Zmp', u^p, . . ., i/^py associées aux valeurs correspondantes [X|p, . . ., ^Upp des quantités [jl, fourniront pour chacune des valeurs p = i, ... ^ m un système de solutions des équations (12) à (i4)-
(26) Uip — \ 8a/«*p>
(27) ^fç,—\ Mf^iZjtp.
Les quantités y^i. Sa/, Ma/, déterminées par ces équations linéaires, seront des fonctions de ^, finies et continues entre Xo et Xi en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G des quantités z^p ne s'annule pas dans cet intervalle.
5l8 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE IT.
En diflTérentiant les équations (a6), on trouvera
ou, en remplaçant les sf par leurs valeurs déduites de (i25). (aS) wjp T-\ fsii-^\ Sa,- YjtA ) 5*p.
Substituons, d^autre part, les valeurs des quantités i//p, i//^ déduites des équations (26) dans les équations
O =t: (Rp Rç ) ^ \ ( M,p ZiQ — Zip Uifs ) ,
elles deviendront
jLdiJLÀk
( ^kt <S*2 ^/ff — W.-/ 5*ff ^ip ) ^= O
ou, en permutant les deux indices de sommation dans le second terme,
Le déterminant des quantités 2/9 n^étantpas nul, ces équations entraînent les suivantes
\ (5*1— 8/;t)5;tp — o (P =1» • . .» rn).
et le déterminant des z^p n'étant pas nul, on en déduira
Les équations (12), (i3), (i4) sont d^ailleurs satisfaites par les valeurs
Faisons cette substitution, remplaçons les quantités t', 1/,
CALCUL DBS VARIATIONS. SlQ
{JL, jji par lears valeurs (25) à (28) et changeons, lorsque cela est nécessaire, la dénomination des indices de sommation; il viendra
Ces équations ayant lieu pour p - = i , . . . , m, et le déterminant des quantités z^p n^étant pas nul, on aura pour A" r^ I , . . . , m,
(29) 0--dki-\'\ ^A/ï)tA»
^màh
(30) 0-: hki^-^^ C/iiÏAA-^y^ ^,7^îi^/— S;t/,
(3i) o~a/*-h\ ^/AT*AH^-y^ <^///M)t/--Si,.--\ 8,„-.YjtA-
On peut déduire de ces équations les vaJeurs des quantités a, 6, d en fonction des c, e, y, 0, M. Elles donnent en effet
(32) dkr- -~2, ^hnf^'f^y
puis
ou, en permutant t' et k et remarquant que 8^/ =-^ 8/a, (33) ôf^T-8^,. — \ cnk-lih — \eki^u.
Les valeurs précédentes des fr, <i étant substituées dans
AY/A'TiA
IVqualîon (3i), elle donnera
Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, b, d dans l'expression de la variation seconde
*' ^ ^y Z/2*^ "'* ^•^' ^•^* "^ ^ *'* *^' ^^* + ''"' ^y- ^fk) da, et dans les équations de condition
(33) o^-^r-=^WyH-euly,) (t^-i,...,p),
qui existent entre les variations.
Si nous posons, pour abréger,
on trouvera aisément que les équations (35) deviennent et que S^j prend la forme suivante :
^'^■■"if (XX/'*"''*-^ tl ~ ='X X'"*''*') '^•
Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu
CALCUL DES VARIATIONS. 5a 1
des relations (39)- D'autre part,
car les variations Sy/, 8^a s'annulent aux limites. On aura donc plus simplement
390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles soient assujetties les variations 8r/. 11 faut, en outre : i** que ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dérivées, entre Xq et x^ ; 2" qu'elles s'annulent à ces deux limites, sans s'annuler identiquement dans tout Tintervalle XfiXi.
Il résulte de là que les quantités vi doivent être infiniment petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement aulles entre Xq et x^. En eil'et, si tous les ç étaient nuls, les équations (36) donneraient
En vertu des relations (^5), ces équations seraient satisfa.'tes en posant
p ayant l'une quelconque des valeurs i , . . , , m.
Par hypothèse, le déterminant des quantités 2/p non seulement n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun point de l'intervalle Xq x^ . Les équations linéaires (4o )auront donc pour intégrale générale
les C étant des constantes arbitraires.
Les 8^/ devant d'ailleurs s'annuler pour x^= x^ et le
522 TROISltaB PARTIE. — CHAPITRE lY.
déterminant des Zip n'étant pas nul en ce point, les constantes Cp devront être toutes nulles; mais alors les Sj^/ seraient nuls identiquement.
