Cela posé, si la fonction

TOnserve constamment le même signe pour tous les systèmes de valeurs des fonctions i^i qui ne sont pas identiquement nulles et qui satisfont aux relations (Sp), l'intégrale

dx

jouira de la même propriété. II en sera de même, à plus forte raison, si Ton se borne à assigner aux arbitraires Vg les systèmes de valeurs auxquels correspondent des valeurs admissibles des Sy/. Il y aura donc maximum ou minimum.

La fonction cp pourrait d'ailleurs s'annuler pour certaines valeurs particulières de ûc sans que ce résultat fût troublé.

Cette condition suffisante est en même temps nécessaire. En effet, s'il existait un système de fonctions Çi satisfaisant aux équations (Sg) et tel que la fonction (p fût positive dans une partie de l'intervalle XoXt et négative dans Tautre, nous allons voir qu'on pourrait rendre S^I positif ou négatif à volonté dans cet intervalle.

Soient, en efiet^ X|, . . . , lL^„^i des fonctions quelconques de Xy linéairement indépendantes^ et finies entre x^ et Xi : c, . . . , C2/2+1 des paramètres infiniment petits. Posons Cl, ... , C2n+i des constantes infiniment petites. Posons

le multiplicateur K étant égal à zéro dans la partie de l'intervalle où <f est négatif et égal à

dans la partie où il est positif. Les fonctions V| satisferont

CALCUL DBS YARIATIOIVS. 5^3

encore aux équations (39), et Pexpressîon

nulle dans la première portion de Tinteryalle, sera positive dans la seconde. L'intégrale

sera donc positive.

Les valeurs correspondantes des Zyi sont les intégrales des équations linéaires

Pour les obtenir, intégrons d'abord les équations sans second membre; il viendra, comme tout à l'heure.

Prenant les Cp pour nouvelles variables, d'après la méthode de la variation des constantes, on obtiendra les équations transformées

Les js/p étant continus entre Xq el x^ et leur déterminant ne s'annuiant pas, on pourra résoudre cette équation parrap-

port aux dérivées -^^- Le résultat obtenu sera de la forme

les E/p étant des fonctions finies.

Ces équations admettent la solution particulière

Cp :-.

524 TBOISifeMB PARTIE. — GHAPITRB lY.

qui est infiniment petite, les V/ étant infiniment petits. Les valeurs correspondantes des hyi seront elles-mêmes infiniment petites. Il est clair d^ailleurs qu'elles seront linéaires et homogènes par rapport aux constantes c^, . . ., C2m+*, et l'on pourra déterminer les rapports de ces constantes de manière à faire en sorte que les oj'i s'annulent pour Xq et X|. Enfin les S/< ainsi déterminés ne s'annulent pas identiquement; car les équations (40> ^^ ^^^ Vi ne sont pas identiquement nuls, ne pourraient être satisfaites.

Nous obtenons donc un système de variations Syi satisfaisant à toutes les conditions requises, et pour lequel S^I est positif. On déterminerait de même un second système de variations pour lequel 8^1 serait négatif.

392. Nous avons donc réduit la question proposée à chercher les conditions pour que la fonction

conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs de (^ qui satisfont aux relations

ili'i-'O.

Comme d'ailleurs le signe de ^ ne dépend que des rapports des quantités Çy on peut, sans restreindre la généralité du problème, supposer les ç assujettis à satisfaire en outre à la condition

Pour résoudre la question ainsi posée, cherchons les maxima et minima de cp pour les valeurs de i? qui satisfont aux équations (4^) ^^ (44)* Dans ce but, nous égalerons à zéro les dérivées partielles de la fonction

CALCUL DBS TARUTIONS.

Nous obtiendrons les équations suivantes

qui, jointes aux relations (43)) détermineront les rapports des quantités (^ et p/; quant à p, il sera déterminé par la condition que le déterminant

<?ii — P

mi

•\ni

«ml O

emp o

mp

soit nul.

D'ailleurs les équations (43)? respectivement multipliées par ^4, . . . , i'm et ajoutées ensemble, donneront

ou, en vertu des équations (43) et (44)>

Les maxima et miuima cherchés sont donc les racines de l'équation I = o.

Pour que cp reste constamment non positif (ou constamment non négatif) entre Xq et J7|, et cela pour tout système de valeurs des (7, il est évidemment nécessaire et suffisant que ces racines restent toutes non positives (ou toutes non négatives) dans cet intervalle.

D'ailleurs^ si cette condition est remplie, on n'a pas à craindre que y soit identiquement nul entre x^ et x^ ; car il faudrait pour cela que l'équation en p eût une racine nulle pour toute valeur de x entre x^ tlx^^ ce qui est impossible; carie terme constant de l'équation en p se confond, au signe

5a6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.

près, avec le déterminant J, qui, par hypothèse, n'est pas identiquement nul.

Nous obtenons ainsi les conditions suivantes pour l'existence d'un maximum (ou d'un minimum) :

Dans toute V étendue de lUntervallex^x^ le déterminant L{X(^yX) doit être ^o (sauf pour x = Xo)f et les racines de r équation I ^- o doivent être non positives {pu non négatives),

393. Nous avons toutefois admis, pour arriver à ce résultat, qu'on pouvait déterminer une constante Ç, telle que l'on eût

(46) A(j?, Ç)^o de .To à a:i.

II nous reste à nous assurer que cette condition est implicitement contenue dans les précédentes.

La condition A(a:oi .^) < o pour j: ^^ a?o < Xi donne, en particulier, pour x=^ x^y

Les éléments du déterminant A et les coeffîcients de I étant par hypothèse des fonctions continues, on pourra déterminer des quantités So) £i assez petites pour qu'on ait encore

tant que Çq) ^i seront respectivement compris entre x^ et Xq -h $0 et entre x^ et x^-^-z^. On aura donc

tant que x sera compris entre x^-h^a et Xj -h e|.

D'autre part, les racines de l'équation I = o conservent uo signe constant dans l'intervalle de x^^k x^\ d'ailleurs, J| n'étant pas nul pour x = Xiy aucune d'elles ne sera nulle pour cette valeur de x; et, comme elles varient infiniment peu entre x^ elXt -+- Si , elles conserveront encore leur signe dam ce nouvel intervalle.

CALCUL DBS VARIATIONS. SlJ

De cette propriété et de l'équation (47), on déduit que 8*1 ne peut s'annuler dans l'intervalle de J?o + eo ^ ^i + e|. Donc, d'après le n° 382,

A(:c, a?i-f- El) Jo pour j? = a:o-i- 6g< JTj-t- 8,.

D'ailleurs cette expression est également ^ o si :r est compris entre Xq et x^-^- Zq. On satisfera donc à la condition (46) en prenant 1^ = Xt-\- Bt.

394. Nous ferons remarquer, en terminant, que nous avons admis dans toute cette étude, non seulement que les variations S^/ des fonctions inconnues sont infîniment petites, mais que leurs dérivées ùy'^ le sont également. Si Ton voulait supprimer cette dernière restriction, les conditions trouvées ci-dessus pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum, tout en restant nécessaires, pourraient cesser d'être sufîisantes.