III. — Variation des intégrales multiples

395. Les notions fondamentales du calcul des variations peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renferment plusieurs variables indépendantes.

Considérons, par exemple, une fonction

?(^i y y -5, W, ^, . . . , Mapy, ('«Py, . . . )

des variables indépendantes Xj y^ z, des fonctions u, v de ces variables et de leurs dérivées partielles

dx^ dy^ âzr "^^ dx^ dy^ dz^

SiTony change u, v enM + eWj = ^/ + 8w, «^ + eP| = (;-|-8c', (f se changera en une nouvelle fonction ^{x, y, z^ e), qui, développée suivant les puissances de e, prendra la forme

On aura évidemment

dx^ de* de* dx^' d'où, pour la valeur particulière £ = o,

-7— j représentant la dérivée complète de f par rapport à j?, en

tenant compte de ce que u^ v dépendent de cette variable. On trouvera de même

La variation première Sep, que nous considérerons spécialement dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur suivante :

( ocp -■=: U 8a -f- . . . -h ^^a?y ^"aPy

I H- V 8(^ -h . . . -r- Vapy St'apY -+-•.->

en posant, pour abréger,

<^? TT d? ,,

396. Cherchons maintenant les variations de l'intégrale triple