I :^ ^t^dxdy dzy

en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps qu'on change ^^, i^ en m -f- Sa, {> -f- hv, on fasse subir une allération infiniment petite au champ de l'intégration.

A chaque point ^, 7), Ç situé sur la limite de Tancien champ d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini-

ment voisin 5 + SÇ, tj -f- Stj, Ç -H oÇ sur la limite du nouveau champ. Cela posé, changeons de variables indépendantes en posant

Sa:', oy\ 02' étant des fonctions infiniment petites, assujetties à la condition de se réduire à 8Ç, 87^, 8ÎJ lorsque .r'= Ç, j/ = 7), J3'=S- L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nou- .. velles variables, prendra la forme

(2) l-^ll — ^^Jdx'd/dz',

le champ d'intégration étant redevenu le même que dans Tinlégrale primitive I, J désignant le jacobien

d^x' d^r' dZx' I

djc' dy' dz' !

drjy' d^y d^y' ' •

djo' dy dz'

I rfO£^ â^ dZz'

; dx' dy '"^ dz''

enfin tétant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen des nouvelles variables a:', j^, z' .

Le développement de cette expression, suivant les puissances de e, ne présente aucune difficulté ; nous l'arrêterons aux termes du premier ordre pour obtenir la variation première 81. Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes variables Xy y y Z auront disparu.

On a évidemment, avec ce degré d'approximation,

dix d^Y dlz

J ~ IH h

dx dy dz D'autre part,

* r= <p H- Sç 4- . . .

J. — Cours, III. 34

53o TROISIÈUR PARTIE. — CHAPITIB IT.

devient, en remplaçant x, y, z par x 4- 8;r, y 4- S^, z 4- 85,

V 7= o -h -y- Sa: -+- -r- ô V 4- — - os -h . . . -î- o«p -H . . . . ^ dx dy -^ dz ^

On aura donc

^ do ^ do ^ do ^ ^ ^ c/or dy - dz

dox d^y d^z

' dx • dj • £^5

Remplaçant S'f par sa valeur (i), substituant dans Téquation (2) et égalant de part et d'autre les termes du premier ordre en e, il viendra

/ U 8m 4- ... -h Ua^y 8MapY "^ ^^ ^^ -I- . . . \

81= C( rf j, c? . t; . WxdTjrf^.

397. Cette expression de 81, donnée par M. Ostrogradsky, peut être transformée par l'intégration par parties.

On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonction f soumise à Tintégration et les équations de condition qui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les variables indépendantes x, y^ ... et les fonctions inconnues M, f', . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces dernières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où figureraient des dérivées partielles d'ordre m se ramènerait à celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles jusqu'à l'ordre m — 1 et ajoutant aux équations de condition les équations aux dérivées partielles du premier ordre qui définissent ces nouvelles inconnues.

Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ail plus que deux variables indépendantes Xy y^ et posons

du du dç d<P -y 09 -y

âx dy dx ' du ' du^ "

CALCUL DES YARIATIOXS.

Ua? - . . . On aura, d'après ce qui précède,

U 8tt -+- U, 8w, -h U, Sa, -h V Si'

dx

© oj:

dxdjr.

I-es termes U|ô//,, V, 8V|, ... et -^-çSx peuvent être intérés par parties par rapport à x^ et donneront

U, OW, +- V, 0(^4

- -Fo^F,-F, i-F,

-7— 9 8 j? ) dx dx * /

dx

dx,

Fo, Ff, ... désignant les valeurs de l'expression

F =: U, 8// -h V, oç^ 4- . » . -h Ç 0^

aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre entre dans le champ et en ressort {/iff' 12).

Fig. la.

Tj

On a d'ailleurs, en désignant par NoX, NiX les angles que la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en ces divers points avec Taxe des x positifs, et par dso-, ds^, ... les arcs interceptés sur la courbe entre la droite^ et la parallèle infiniment voisine j^ -h dy^

dy =z — dsoCos^QXzzL rf^jCOsNtX =

53a TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE IT.

L*équation (3), intégrée par rapport à y^ donnera donc

C TUt ûWi -+- V, Si', 4- . . . -+- ^ f lx\ dx dy

la première intégrale étant prise le long de la courbe limite, et la seconde dans tout le champ.

On peut opérer de même sur les termes

U, 5w, -H V, ôç', -h . . . -T- -^ <p 8y en les intégrant par rapport à j^. On trouvera ainsi

ai r= A A J« 4- B ÔP -T- . . . H- D ÔJC -h E 0/) £/5

-i-V(M Zu -^ \tiV '\- , . .) dx dy

en posant, pour abréger,

A = Ui ces NX -h U, ces N V, B^V, <osNX4-V, cosNY,

D=i^<pcosNX,

E=<pcosNY,

ax dy

dx dy

398. Cherchons à quelles conditions on doit satisfaire pour que cette quantité s'annule pour tout système de valeurs de ^•^9 ^^9 ^<^9 S^) • • • compatible avec les données du problème.

I** Si les limites du champ et les fonctions e/, t', . . • sont

CALCUL DES YAaUTIONS. 533

entièrement arbitraires, on pourra assigner à Zx, 8y, Sci, hv^ ... des valeurs absolument quelconques. Posant d^abord

6 étant une quantité qui s'annule au\ limites du champ, Tintégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que 21 se réduira à Tintégrale

Qe*(M» -h N* -+-... )^.rd'7,

qui ne peut s^annuler que si Ton a séparément

M rrr O, N — O, ....

Ces équations aux dérivées partielles détermineront les fonctions inconnues //, r, ....

Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration et les limites de l'inlégration s'obtiendront en exprimant que riiitégrale simple à laquelle se réduit ol s'annule également, quelles que soient les fonctions Sx, 8^, Sw, 8r, .... En posant

on voit qu'on devra avoir séparément

A rrz o, B = o, . . . , E = o.

'2** Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement sur une portion de cette limite), on ait une équation de condition

Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs limites x -f- o:r, y + 8/, u -f- Am, v -\- Ap*, — D'ailleurs l'accroissement total ^u dû au changement de la fonction u en u 4- 8a suivi du changement de x, y en x -{- 8a;, y -f- 8y est évidemment égal à 8w 4- w< 8x -f- Ma 8^. De même

Af' r= ^ç -H Vi 8j? 4- t's 8j,

534 TROISlfcMB PARTIE. — CHAPITRB IV.

On aura donc à la limite du champ entre les variatioDS ùx,

Sjr, 8e/, Zv, ... la relation

à^ H d'If ^ dà .. ^ ^ .

àx *^ -*- ^ 'y -^ JT, ^ '" ■'- "' ^"^ "■■ "' ^^^

Les équations A = o, B r^ o, . . . , E = o ne seront donc plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée pour que Tintégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton ait

\ étant une inconnue auxiliaire.

On a donc une inconnue de plus, mais en même temps une équation de plus, à savoir ij^ r= o.

3** Supposons que x^ y y iiy (^, . . . soient liés par une équation aux dérivées partielles

4/(j7,7, Uy Uly M„ <', i^,, V^y . . .) T" O.

On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations qui laissent subsister cette équation,

= 5V<p£/^d[^:=iSV(o-f- X6) dœ dy.

\ étant une fonction arbitraire de forme invariable.

La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre sous la forme

A A' 8m -f- B' Sf; -h . . . + D' 8^ 4- E' 87 ) dlf