C ( M ' 8 1/ 4- N ' 8i^ -t- . . . ) rfx
CALCUL DBS YARIATIONS. 535
Déterminons Tauxiliaire X par réquation M':=^ o. L^intégrale double se réduira à
^{'S'^v-^...)dxdy.
Il est clair d'ailleurs que S(^, ... pourront être choisis à volonté sans que Téquation ^{^--o cesse d'avoir lieu. Donc on devra avoir N' = o, . ...
Reste rinlégrale simple, qui devra s'annuler tant que l'équation i{/ =: o subsistera. Or les variables sont encore liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équation contient les dérivées partielles M|, w^, i',, t^a, ..., elle n'apprendra rien sur les variations 3^, 8^, §5, 8m, de sorte qu'on devra avoir
Mais^ si elle ne contient que x, y^ Uy v^ . . ., il suffira, d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe limite
T^'-=zv(
dx dy
ox au Ou J
yi étant une nouvelle inconnue auxiliaire.
4" Supposons enfin que w, ç', ... et les limites soient astreints à varier de telle sorte qu'une intégrale donnée
K = V ^{^ dx dy conserve un'e valeur constante c. On verra,
comme au n" 361, qu'on doit avoir identiquement
\ désignant une constante.
On aura donc à former les équations qui annulent la variation de l'intégrale double
I^-Xk.r:|^(cp-^Xd;)^/^dy,
536 TRoisibns partie. — cuafitrb iv.
auxquelles on joindra la condition donnée K -^ c, qai déterminera X.
399. Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant, rencontré par (lauss dans la théorie de la capillarité :
Déterminer la forme d'équilibre d^un liquide contenu dans un vase de forme donnée.
Soient
V le volume du fluide supposé donné; (T Taire de sa surface libre ; S celle de la paroi mouillée ;
H la hauteur du centre de gravité du liquide au-dessus du plan horizontal des xy.
On obtiendra la surface cherchée en rendant minimum
l'expression
a-ha2-r 6V1I,
où a ei b sont des constantes.
Soient
z Tordonnée de la surface libre;
Pi «Zî ''ï *> ^ ses dérivées partielles première et seconde;
Z, P, Q Tordonnée de la paroi et ses dérivées partielles.
On aura
V =^ V ( :; -— Z) <ix dy^
a = X V Th- P^ -r- q^ dx dy.
Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale
CALCUL DBS VARIATIONS. 53y
double
1 = S rv/î"4^« 4^ -t- a v/i-i- P« + Q» -+- ^ (s' - Z« )1 dx dy
= ^^dœdy
avec les conditions : i** que Tintégrale V soit constante; a** qu'on ait aux limites du champ l'équation de condition
Nous aurons à former la variation
5(I-hXV):
OÙ
^ cosNX
, 4- -j^—~ ces NY,
D —îPcosNX, E=z(pcosNY,
• v/i -+-/?* 4- V ^^' V^î~4^7^4- 7* 1= 6iï 4- X — (^ + 7')^' — 2^7^ 4- (14-/?*)^
L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cherchée sera donc
Cette équation est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal
à 5- 4- jj-) R et R, désignant les deux rayons de courbure
principaux. On aura donc
Passons à la considération de l'intégrale simple. On a, le long de la courbe limite, 5 =r Z, ce qui réduit q à ses
538 TROISIÈMB PAETIB. — CHAPITEK IV.
deux premiers termes
On déduit d'ailleurs de cette équation aux limites la relation suivante :
Tirant de là la valeur de oz pour la substituer dans l'intégrale, puis égalant à zéro les coefficients de Sx et de S^, il viendra
/?cosNX-h(7cosNY,-. , -..
/? ces NX 4- 7 ros N Y ,^ . ...
(Q — ^) ■+- ? cosNY =r o.
On a d'ailleurs évidemment, en désignant par x^ y^ 2 et X + dx^ y + dyy z -^ dz deux points infiniment voisins de la courbe limite,
et d'où
et enfin
COsNX i^ - ^, COsNY I-: ^
as as
dz^=:p dx -\- q dy ^=zV dx -h Q dy ; (?—/?) cosNY -z (Q — ç) cosNX.
La première des équations (4) deviendra donc, en éliminant cosNY et supprimant le facteur cosNX,
ou
