Les équations linéaires, de la forme
P et Q désignant des fonctions de x seul.
L'équation ne change pas si Ton y remplace j^ p^rj^ + %i\^ t\ étant une fonction de x définie par l'équation
Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement Intégrant, il viendra
d'où
r^dx=c^
La fonction auxiliaire i\ qui iGgure dans cette formule est
a4 TROisitan paitib. — cHAPim i.
une solution choisie à volonté de Tëquation (6), qui ne diffère de la proposée que par la suppression du dernier terme. Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les variables. Il viendra
^zzPrf^,
d'où
logtirr r Prfj:-hlogC„
I Prfx
C| désignant une constante arbitraire.
19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent se ramener aux types précédents par des changements de variables.
Considérons d'abord l'équation
Si ab' — ba! n'est pas nul, posons
ax -h by -^c=^ly a'x -h b'y -^c'=ir^]
doù
a dx -h b dy z= d^j a' dx -^ b* dy =l dr\^
dx = kdi-^^dr^, €//=iA'^-hB'rfïi.
L'équation transformée
sera manifestement homogène.
Soity au contraire,
a6'— ba'=zo, doù
tQDATIOHS DIFFtlEirTULUS OIDINAIIIS. a5
Le second membre de Inéquation proposée sera de la forme
Prenons ax + h y + c = Ç pour variable nouvelle, à la place de x par exemple. On aura
a dx -^ b dy=: d^^
dxz=i--{di^bdy).
ei l'équation transformée deviendra ou
Les variables sont séparées. On obtiendra donc^ en fonction de \ par une quadrature, et l'équation
ax -^ by -\-c^=.\
donnera la valeur correspondante de x,
SO. L'équation de BemouUi
GÙ P et Q sont des fonctions de Xy peut s^écrlre
i— ni ax *^ ^
et se changera immédiatement en une équation linéaire, si l'on prend j'*'"'" pour variable à la place de j^.
21. L'équation peut être intégrée complètement dès qu'on en connaît une
a6 TROISIÈME PART». ^ CBàPITRK 1.
solution particulière. Soit, en effet, y^ cette solution : po sons
l'équation transformée sera
et, comme l'on a par hypothèse
dvx
dx
elle se réduit à
dz
^ =(aR/,-hQ)5-f-R5«.
C'est une équation de BernouUi.
