Considérons encore l'équation
oLx dy -i-^ydx-h x'^y'^^ax dy -h by dx) -=1 o.
On a
{ax dy •+■ ^y da:)aîP-*^*-* = d{xPy^).
ÉQUATIONS DlFTteBnriRLLIS ORDUCAliBS. ^7
L'expression générale des multiplicateurs qui rendent inté* grable ax dy -h ^y dx sera donc
On voit de même que l'expression générale des multiplicateurs de x^y^ijax dy -H- h y dx) sera
11 résulte de là que x^y^ rendra séparément intégrable chacune des deux moitiés du premier membre de l'équation proposée, et, par suite, sera un facteur intégrant, si l'on a
Ces équations simultanées détermineront aisément i, 7|, X, {A, si le déterminant a 6 — ^a n'est pas nul. Si ce déterminant était nul, on aurait
et l'équation se réduisant à
serait intégrable sans difficulté.
24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations différentielles de la forme
ArfX4-Béfï^-f-C(Yé/X — Xé/Y) = o,
où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et de Y.
Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les variables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant
QLX-\-^y -^'^z aa? -+- P/ -h f -^
a8 TEOISlftHB PàHTIB. — CHÀPITBB I.
On en déduira sans peine pour dHy dY, Y dlL — X dY des expressions de la forme
a{ydz — zdy) -h b(zdx — xdz) -^cixdy — y dx)
Ces valeurs, substituées dans Téquation proposée^ donneront une transformée de la forme
(7) h{y dz — z dy) -\-\L{zdx — xdz)'\-^(xdy—y dx) = o,
L, M, N étant des fonctions homogènes en Xy y^ z^ et d'un même degré, que nous désignerons par m. Cette équation peut encore s'écrire ainsi
(8) Pé/a7 + Qû(x4-R^5 = o,
en posant
P = Ms - N/,
R ==: hy — Mj?; d'où
(9) Pj:4-Q7-t-R5 = o.
âo. Pour chaque point x^ y^ z à\i plan, la direction de la tangente à la courbe qui représente géométriquement Tintégrale sera donnée sans ambiguïté par Téquation (8). Il y a toutefois exception pour les points où Ton a simultanément
pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite, n'établit plus aucune relation entre dx^ dy^ dz.
Ces points singuliers sont évidemment les seuls par lesquels puissent passer plusieurs branches de courbes distinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou tout point d'intersection de deux courbes intégrales est nécessairement un point singulier.
Cherchons le nombre Ç de ces points singuliers. Nous re-
ftQUÀnOHB DIFFÉBKimUBS ûtDOIAIAKS. 39
marquerons^ à cel effet, qae les poîols cotnmuDs à P = o, Q = o, en nombre (m -hi)^, satisfont en verta de (9) à la relation Rz c= o. On aura donc
• (ffi-+-i)'=Ç-+-ii, 1) étant le nombre des points communs à P = o, Q^=zo,
D'antre part, les m + i points communs à P =s o, ^ = o
satisfont à la relation Q^ =: o. D'ailleurs, un seul d'entre
eai, savoir ^ = 0,^=0, satisfait à ^ = o. Les m autres
donneront
donc
y^=z m et 6=:/n*-hm-hi.
S6. Chercbons maintenant la condition pour qu'une courbe algébrique
soit une intégrale de l'équation différentielle. On trouvera, en diSerentiant l'équation ci-dessus,
àx dy ^ oz
On a d'autre part, pour tout point de la courbe,
àf df df .
p désignant le degré de la courbe /= o. Des deuic équations précédentes on déduit celle-ci
àl dl df
dx dy dz
ydz — zdy zdx — xdz xdy — y dx
dont la combinaison avec l'équation différentielle (7) donnera
âx dy dz
30 TROISiftflB PARTIS. — CHAPITRE I.
Le premier membre de cette équation est un polynôme entier. Puisqu'il s'annule pour tout système de valeurs de ar, 7, z, tel que Ton ait/=o, il sera divisible par/; on aura donc identiquement
K étant un polynôme entier, de degré évidemment égal km — ï.
Telle est donc l'équation de condition cherchée, laquelle peut encore s'écrire ainsi
27. Pour tout point singulier de l'équation différentielle, on aura
P = o, Q = o, R = o, d'où
Soit X la valeur commune de ces rapports. On aura Substituant ces valeurs dans (lo), il viendra
Les points singuliers seront donc de deux sortes : I** Ceux qui sont sur la courbe /= o; 2° Ceux qui ne sont pas sur cette courbe, et pour lesquels on aura nécessairement
joX— -K = o.
Dans le cas où la courbe /n'a pas de point multiple, il est aisé de déterminer le nombre des points singuliers de la pre-
ftQCATIOKS DIFrtKBITIILUS OIDIHÂIUS. 3l
mière sorte. En effet, ^> ^> -p ne pouvant s^annuler simul-
taDément, l'équation (lo) donnera, d'après un théorème d'Algèbre connu (Dabdoux, Bulletin des Sciences maihé^ matiques, a* série, t. II),
P 0/ ôz
P OZ ax
P ax oy
et, par suite,
=/>uy -(Ux-t-v^-hWc)^,
Q = A> V/ - (Uo; 4- V7 -H W«) ^, R =pV4f- {\}x + V^ + Ws) %,
OZ
U, V, W étant des polynômes de degré évidemment égal à m — p-{- I.
Ces équations montrent immédiatement que les points singuliers cherchés sont les iutersections de la courbe /= o avec la courbe de degré m — /> -I- a
Ua:-i-V7-+-W« = o.
Leur nombre sera donc
28. Cela posé, nous allons établir que, si Ton connaît un nombre suiBsant d'intégrales particulières algébriques, ou pourra eu déduire l'intégrale générale de l'équation proposée.
Soient /= o, /, = o, ... ces intégrales particulières; p,
3a TROISlftMB PART». — GHAnTRI I.
/7i, ... leurs degrés respectifs. En posant, pour abréger,
ox oy âz
on aura (S6)
La fonction f = /^/f*9 • • • satisfera à une équation analogue; on a, en efTet,
Si les constantes a, a^ ... peuvent être déterminées de telle sorte qu'on ait
et
(la) a/>-ha,/?, 4-... — — m — 2,
Texpression o sera un multiplicateur qui rend différentielle exacte le premier membre de l'équation différentielle.
En effet, il faut et il suffit pour cela qu'on ait les trois équations de condition
df dx
Développant et remarquant qu'en vertu de l'équation (12) ç est une fonction homogène de degré — m — 2, d'où
ces trois équations se réduiront à l'équation unique
que nous supposons satisfaite.
Les deux membres de l'équation (11) étant des polynômes homogènes de degré m — i, leur identification donnera
ÉQUATIONS DVPÉBBNTIILLIS OKOINAIIIS. 33
— ^ équations de condition distinctes, linéaires en a^
2,, .... Le nombre total des conditions à remplir sera donc
-f- I , et il suflira, en général, d'avoir — h- i
iolegrales particulières pour obtenir un multiplicateur et en déduire par quadrature l'intégrale générale.
S9. Ce résultat serait en défaut si le déterminant des éqaalions de condition était nul; mais, dans ce cas, on pourrait délermiucr les quantités a, de telle sorte qu'on eût
( aK-ha,K,H-...T=o,
Or il est aisé de voir que, si ces conditions sont satisfaites, ç = const. sera l'intégrale générale de l'équation proposée. En effet, o étant homogène et de degré zéro, on aura
D'autre part,
ox "^ oy oz
o = a? = L^+M^-hn|2; ^ OX dy oz'
d'où
d^ d«p df
dx à y dz
De ces relations combinées avec l'équation différentielle on déduit
o = ^ rfa: -+- 3^ ûfv + -3P cf^ =1 ûfQ, dx dy "^ dz ^'
d'où
cp r= const.
¥ » • / rk\ , » y y /W(//l-f-l) /
Les équations (i3) équivalant a hi équations
linéaires et homogènes en a, ai, ... pourront toujours être satisfaites si le nombre de ces quantités est au moins égal à J. — Cours, III 3
34 TROISIÈHB PàRTU. — CHAPITRE I.
— ^ 4- a. Mais, dans la plupart des cas, les équations
de condition ne seront pas distinctes,, ce qui réduira le nombre des solutions algébriques nécessaires pour l'application de la méthode.
En effet, pour que le polynôme aK + aiK, -f-. . . soit
identiquement nul, il suffit qu'il s'annule pour — ^^
points X, JK) ^ ; ^M yty ^1 f • • • ') car on obtiendra ainsi — ' équations linéaires et homogènes entre ses coefficients. Ceux-ci seront donc nuls, à moins que le déterminant de ces équations ne soit nul (ce qui aurait lieu dans le cas où les points considérés seraient tels que toute courbe d'ordre m — i qui passe par quelques-uns d'entre eux passe nécessairement par les autres).
Cela posé, soit x, y y z un point singulier qui n'appartienne à aucune des courbes /, /o On aura, pour ce point,
L'équation de condition aK+a|K|-f-*-. = o, relative à ce point, fera donc double emploi avec l'équation
Si donc il existe q points singuliers qui n'appartiennent à aucune des courbes /, /i, ... (et qui ne soient pas tels que toute courbe d'ordre m — i, qui passe par quelques-uns d'entre eux, passe nécessairement par les autres), on pourra les prendre dans la série des points :r, jKvS; a:i, jKi, ^i 5 . . ., pour lesquels on doit exprimer que aK -i- ai K| 4- . • • s'annule, et le nombre des équations de condition distinctes se
réduira à — ^ \-i — gr. Il suffira, pour y satisfaire, d'avoir — ' -f- 2 — q intégrales particulières algébriques.
ÉQUATioHS MFrttnrrmxis oftvncAniis* 35
30. Supposons, par exemple, que l'on connaisse |a intégrales algébriqaes /= o,/i = o, ... sans points multiples, ne se touchant mutuellement nulle part, et telles que la somme />+/>! + ... de leurs degrés soit égale à m + 3. Noos pourrons construire l'intégrale générale. Il suffit en effet, pour cela, qu'on ait
Pour vérifier que cette équation est satisfaite, nous remarquerons que' chacune des courb^ données, telle que/, passe par /7(m + 2 — p) points singuliers, qui sont précisémen* ses points d'intersection avec les autres courbes du système Chacun de ces points se trouvant sur deux de ces courbes, lear nombre total r sera
y p(m-h2—p) (/n-ha)' ^^
Le nombre ç des points singuliers qui ne sont sur aucune de ces courbes sera donc
rn* H- m 4- I -f- i £p'.
Substituant dans l'équation de condition précédente, elle devient
Le cas le plus défavorable pour l'existence de l'inégalité cidessus est celui où tous les nombres p sont égaux à l'unité. Eo effet, si nous remplaçons un de ces nombres p par deux autres p' et //, tels que l'on ait p'-^p'' = p, |x sera accru d'une unité, et ^S/?* sera diminué de ^{p* — p^^ — p"^) — p'p\ quantité au moins égale à i .
Or, si tous les p sont égaux à l'unité, on aura
et les deux membres de l'équation sont égaux.
36 TROISIÈKB PAKTIB. — GHAPITEB 1.
