Considérons, comme application, l'équation de Jacobî

{ax -h 0/ -+- cz) {yds — z dy) -+- (a'a:-i- b' y -\-d z) {zdx — xdz) -h {a'x -\- b'y -^c'z) (xdy — ydx) =:o.

Cette équation admet trois droites comme solutions particulières. En effet, la condition pour que la droite

/■=: ux -h c/ -+- wz = o soit une solution sera, diaprés la théorie précédente,

{ax -^by -\-cz)u + (a'x -h b'y 4- d z) v 4- (a' x -h b'y 4- c'5)iv

:::zk{ux -h C/ -h VVZ)^

k étant une constante.

Cette équation donne les trois suivantes

Iau -^ a' V -\- a" w z=. kuy bu -\- b' V -\- b" w = kvy CM 4- c' f 4- c* w =: kw,

d^où Ton déduit pour k Téquation du troisième degré

Soient A:,, k^^ k% ses trois racines. A chacune d'elles A"p correspond une droite /p, pour laquelle les rapports des coefiicients u^ v^ w seront déterminés en fonction de k^ par les équations (i4)*

Cela posé, l'intégrale générale sera

a,, a2, as étant déterminés par les relations

«i ^i 4- «î ^1 H- «8 A*J — o> «i-hai-haa — o,

fiQCATIOllS DIFrtimTtlLUS OftDIHMftlS. 87

auxquelles on satisfera en posant