Les équations différentielles

/(^,r,/)=Ot

où la dérivée y se trouve à un degré supérieur au premier, exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent, la résolution préalable de l'équation par rapport à y\ ce qui peut présenter de graves difficultés. Mais on pourra, dans certains cas, se dispenser de cette opération par Tintroduction de variables auxiliaires.

33. 1° Considérons d'abord les équations qui ne contiennent que la dérivée y et une seule des variables x, y.

Ces équations sont des deux formes suivantes

suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la fonction inconnue y. Mais ces deux types d'équations se ramènent immédiatement l'un à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante, et réciproquement.

Nous nous bornerons donc à considérer les équations de la forme

Si l'on sait exprimer j^ et^ au moyen d'une variable auxiliaire u par deux équations

dont le système soit équivalent à l'équation unique (i 5 ), l'intégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en effet,

38 TROMiftMB PàETU. — GHIPITIB I.

d'où

du -H const.

avec *

Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) représente une courbe de genre o ou i , lorsque l'on y considère j^,^ comme les coordonnées d'un point. Les fonctions o et ^ sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que les intégrations pourront se faire.

Considérons, par exemple, l'équation

Posons j'= uy; substituant et supprimant le facteur ^^, il viendra

i — Zu*, au

=.CU^^ L^rfa = 3a-Hlogiî^:l^

34. a*' II existe une classe assez étendue d'équations différentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une différent! ation préalable.

Considérons, en effet, l'équation

On en déduira, par la différentiation,

Prenons^' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle

équation

dy — y' dx-.=zo

qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux équations simultanées pour déterminer^, y.

tQUÀTlORS BIFFÉftDfTlILUM OlDllflIUS. 89

Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multiplicateurs My N, tels que l'on ait

d^ étant une différentielle exacte.

Les équations /^= o, dj^ — y dx = o seront, en général, équivalentes aux deux suivantes :

/=o, d^=zo ou

On n'aura plus qu'à éliminer^ entre ces deux dernières équations pour avoir la relation qui lie x^y et la constante arbitraire c.

Les deux sjstèmes d'équations cesseraient toutefois d'être équivalents pour les valeurs de x^ J'^y^ qui rendraient N nul ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions singulières.