TT

OÙ

A(j:)=v/(i-a:«)(i — AV).

L'intégration directe donne

F(a?)-+-F(7) = const.,

F désignant Pintégrale elliptique de première espèce.

Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier de l'équation d'Euler, admet une intégrale générale algébrique (t. II, n*** 498-501). Voici un nouveau procédé pour Tobtenir, indiqué par M. Darboux.

Posons

dx ^y ^ j

t étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement

44 TROISIJtalB PARTIR. — GHÀPITRR I.

et, en dérivaDt par rapport à t,

^ = 2A-»*»-(n-*«)aT,

puis

^^ rf*7 t^ ( dx dv\

dx dy i__X:ix«yi

et, en intégrant,

'^^ V '^t~^'di)'^ ^^^(^ "" ^*^'/') -*- ^^"st.,

r=z const.,

-^ dt dt

et enfin

, , , , — = const.

On aura donc

F(,)*FW = ,[iM£)±^]

Posons cette équation se réduira à

«QUATIOlfS DirPÉBDITlBLUn OtDIHAIMS. 4^

On aara donc

Posons

xr=snujy i=zsnVf d'où ^x:= cnudnu^ Ly -zz cnvdnv.

Nous retomberons sur la formule connue

sn II en f dn p -h sn «^ en tf dn M sn(tf -^v)z=z — — r

Œ. — Systèmes d'équations simultanées.

41. Tout système d'équations diflVrentielles simultanées, entre n + i variables x^, . . . , Xnj peut être ramené, comme OQ Ta vu, au type normal

X,, — , Xa étant des fonctions de jTq, . . . , Xn. Ces équations étant mises sous la forme

'0 F^ =r dxjt — X^ dx^ ^=o {kz=:j, ...,/j),

i'hercbons à en déduire une combinaison

dont le premier membre soit une difTérentielle exacte d:o. LMdentité

\ H^*Fa — d^ = ^dxQ-\- ... -H ~ dxn

âXn

uonnera

Éliminant les |jl, on aura, pour déterminer ^ , Téquation aux dérivées partielles

OX^ ^k OXic

46 TROISIÈIIB PARTIE. — CHAPITRE T,

42. L'intégration de Téquation (2) et celle du système (i) sont deux problèmes équivalents.

En effet, si, par un procédé quelconque, on est parvenu à obtenir une solution générale du système (i) (*), représentée par n équations

(3) 4/1 = 0, ..., ^n = Oy

entre j?oi • • • 9 ^n et n constantes arbitraires C{ , . . . , Cn, on en déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de Téquation (a). Résolvons, en efiet, les équations (3) par rapport à c^ • • • > ^/i i ^'^^^ prendront la forme

•D'ailleurs, les premiers membres f 1 , . . . , f ^ de ces équations seront des fonctions distinctes de Xq^ . . ., a?^, c'est-à-dire qu'elles ne seront liées par aucune relation ; car, si une semblable relation existait, les équations (4) ou les équations équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les systèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation^ et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être distinctes.

Cela posé, les équations (4) donnent, par différentiation,

Ce système devant être équivalent au système (i), on aura des équations de la forme

Donc tpi, , . ., f/, seront des intégrales de l'équation (2).

Soit maintenant y une autre fonction quelconque de j^oj • • • ) -îc,!, qui soit distincte des précédentes. Si nous transformons l'équation (2), en prenant pour variables indépen-

(') On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solutions.

ÉQCATI0IC8 DIPrftlEHTIILLIS 01DIHA11I8. 4?

dantes^'y f ,, . . . , f „, elle prendra la forme

Mais elle admet pour intégrales f i , . . . , f « ; donc

Ml ^ 0| • • ■ ) Mu = o.

L*équation se réduira donc à ^ = o. Donc, pour qu^une

fonction cp = F(^, .•.,fit) satisfasse à cette équation, il est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y. La fonne générale des intégrales cherchées sera donc

OÙ F est une fonction arbitraire.

Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé n intégrales distinctes f i, . . . , f a de Téquation (2); on aura

|Xp . . . , pL^ étant des fonctions de x^^ . . . , Xni dont le déterminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune relation linéaire entre cf^i, . . . , d^n^ Le système (i) sera donc équivalent ( * ) ^^ système

rfçi = o, ..., rf<p»=o dont on obtient immédiatement la solution générale

43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le déterminant p, des coefficients

(') Saaf pour les systèmes de valears des variables qui rendraient infinis les coefficients {«. ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront éire considérés à part.

48 TROISlftMB PÀRTIB. ^ GHÂPITRB I.

Si Ton remplaçait le système des intégrales f i, . . . , ^ j, par un autre système d'intégrales distinctes <{'i(f i, . • . , cpir), . . . , ^/i(f I) • • • » ?/i)y ^^ obtiendrait évidemment un nouveau multiplicateur [jlJ, J désignant le jacobien de t|/,, . . ,,^n par rapport à fi, . . ., f;,.

Ce jacobien est une fonction de fi, ...,f;,, qui peut d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction arbitraire de cpt, . . ., f/i, que nous supposerons contenir cpi par exemple, il suffira de poser

pour avoir J =^ F.

44. Soit p Tun des nombres i , . . . , n. Désignons par Dg ce que devient le déterminant

lorsqu'on y remplace les éléments j^ (t les éléments -r-^ • Comme on a

, n) par

duCi

il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent,

Dp=i:— [xXp.

On en déduit

Êï

£QUATI05S DirFÊRKNTIlLLES OBDIlfÂlRES. 49

Or le second membre de cette égalité est nui; car, en edectaant les calculs, on voit immédiatement que c'est une

fonction linéaire des dérivées secondes -^ — ^ — > ••• > et Que

axiâxjt ^

Tune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la somme de deux déterminants qui ne diffèrent que par rechange de deu& colonnes, et qui, par suite, se détruise? n t.

Le multiplicateur p. satisfait donc à Téquation aux dérivées partielles

v5) -Ji-i-y -j*— *— o {A—i,...,n).

Réciproquement, toute solution |jl' de cette équation est un multiplicateur. Posons, en effet, |jl'= [jlv. L'équation deviendra, par la substitution de cette valeur de [x',

Donc y est une intégrale, et [Ji'= |jlv un multiplicateur.

4o. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seulement i intégrales distinctes fi, ..., ^i de l'équation (a), / étant -< n. Soient ^'o, . . . , yn~^i des fonctions de x^, . . . , ^ui qui, jointes à celles là, forment un système de /z -f- i fonctions distinctes. Si nous prenons les f et les y pour variables indépendantes, les équations Fa prendront la forme

(an=o, ...,/^ — i; pi=i i, 2, . . . , /).

En les résolvant par rapport à dy^^ . . -^e/fi, - . -, on ob- J. — Cours III. 4

5o TBOISlftMB PABTIB. — GHAPITBB I.

tiendra un nouveau système équivalent

Gi — a|Fi -}-...-ha;F„ =d^^ = o,

. G, =a',F, -+-... -t-a^F, z=d<ft = o,

Les i premières équations de ce nouveau système donnent immédiatement

o, =zconst., ..., <prt •= const.

Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre n — i formé des équations

où (pi, ..., 'f„ doivent être considérés comme des constantes.

Les multiplicateurs ijl' du système (6) s'obtiennent évidemment en divisant ceux du système (i) par le déterminant A des coefficients a.

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caraclélise, se réduisant à

montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si donc on connaît un multiplicateur |x du système primitif, on

en déduira un multiplicateur ^ du système réduit (7).

Il résulte de là que, si l'on connaît n — 1 intégrales et un multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'obtiendra par de simples quadratures ; car la question se ramène à intégrer une seule équation du premier ordr&> dont on connaît un multiplicateur.

£QUàTI0R8 DIFFÉKKNTIKLLBS OtDIRAIMS. 5l

46. On a souvent à étudier des systèmes d*équations différenlielles dont on peut déterminer facilement un roultiplicateor. Le cas le plus simple et le plus important en même temps est celui des systèmes d'ordre a/i et de la forme sui-

fan te

(8) eLri=^dt, dpiz=—^dt (i = i, a, . . ., /i),

où d désigne une fonction connue des 2/1 variables X|, . . . ,

Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes canoniques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions de la Mécanique.

D*après la théorie précédente, leurs inté^ales <p et leurs maltiplicateurs |jl seront déterminés par les équations aux dérivées partielles

àt 2jk\ \àxi dpi dpi dxi) "~ et

dpi

II est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant simplement pi = i .

Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence celles qui sont indépendantes de t\ elles seront données par Téquation

^^^ LAdxtdpi dpidxj-'''

laquelle admet 2/1 — 1 solutions distinctes^ en fonction desqueUes toutes les autres peuvent s'exprimer.

Si l'on a déterminé 2/1 — 2 de ces solutions, y«, . . ., cp^^^j, on pourra achever l'intégration par de simples quadratures.

Ed effet, soient j'jj'i deux fonctions quelconques des X|,

^m Pij - . • , pny distinctes de cpi, . . . , <p2/i-2' Prenons pour variables indépendantes les (f etles j^ à la place des x et des p.

5a TROISIfcHB PARTIE. — CHAPITRE I.

Il nous restera à intégrer un système de deux équations, de la forme

dt =Y,dy,

et dont nous connattrons un multiplicateur. Ce multiplicateur [tf satisfera à l'équation

àf ' dfi ' di

Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de ]jl\ Y|, Ya sont indépendants de /; donc Téquation précédente se réduira à

et pi' sera un multiplicateur de Téquation

dyi ^ Yi dy.

On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et obtenir ainsi jki en fonction de y. Substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura t par une dernière quadrature.