L'expression
^« / d^ d^ do <)']/ \
qui forme le premier membre de l'équation (9), se représente ordinairement par (^, f ). De la définition de ce symbole résultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles nous signalerons les suivantes :
(ro) (c, <p) ^= o (c étant une constante),
(11) (<{;, <p)=io (si (p et 4^ sont indépendants des />),
()F dF
êquâtiohs BirriBBvniixis OROUiAitit. 53
Les formules (lo) à (i4) résultent immédiatement de la définition du symbole (^) f )• Pour vérifier la relation (i5), on remai-quera que son premier membre développé est formé de termes dont chacun est le produit d'une dérivée du second ordre de Tune des fonctions fi, faj ^ p^r des dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.
Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les dérivées du second ordre de ^; ils seront de Tune des formes
d^^ d^x dyt d'<j/ d©t dçt dxi dpk dpi dx/g dxi dpk àx/g dpi
â^^ dfi dcpi d'^/ d<pt d<pi ôXidxic dpi dp h dpidpk dxi dx^
ei proviendront exclusivement des deux derniers ternies de l'équation (i5).
On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de Tune des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équalion est détruit par un terme correspondant provenant du troisième.
48. De la proposition que nous venons d'établir découle cette conséquence importante, connue sous le nom de théo^ l'ème de Poisson :
Soient Çi , ©a deux intégrales quelconques de l* équation aux dérivées partielles
(où 4 est une fonction donnée): l'expression (çi, cpj) sera une noui^elle intégrale.
En effet, des identités
(♦iTO^O, (4/,(p,) = 0,
que Ton suppose satisfaites, on déduit immédiatement
((+,?l).?î) = (0,<pt) = 0,
((?!> +)> îl) =— ((+, ?l), ?l) = - (O, ipi) = O
54 TROISiftMB PARTIS. — CHAPITBB I.
et, par suite,
Supposons donc que Ton connaisse un certain nombre d'intégrales distinctes ^ i, . . . , f;^ de l'équation proposée, on en déduira de nouvelles intégrales (<pi, ^2)1 • - -j (f*-i> ?a)- Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de ^1, . . ., Off, cela n^apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une d*entre elles ^ j^^i est distincte des précédentes, on pourra la leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système <pi, (^2) •-•) ?A+«) et ainsi de suite, tant qu'on trouvera de nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues.
49. Revenons à la théorie générale des systèmes d'équations simultanées de la forme (1). Si, dans un semblable système
(16) F|=zo, ..., F^-n^o,
nous changeons Xq, - . .^ Xn en Xq -{- e$o> • • • • •2:,, -H eÇ^, ioi • • • » '^n étant des fonctions de Xo, . . . , Xm et e étant un paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carr<^, nous obtiendrons de nouvelles équations
(17) Gi = o, ..., G„=i::0.
Si ces équations transformées sont des combinaisons linéaires des équations primitives, telles que
nous dirons que le système (16) admet la transformation inG-
uitésimalc io> • • • ? ii*
L'étude de ces transformations infinitésimales se lie intimement à celle des intégrales et des multiplicateurs du système proposé. Nous remettrons l'examen de cette question à la Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer
tQUATI0?f8 DlFFÉftBNTIKLLBS OEDDCÀlUt. 55
que l'ordre du système peut être abaisse, si Ton connaît nne transformation infinitésimale io, . . ., Ça, telle que Tëquation aux dérivées partielles
puisse être intégrée.
Soient, en eflet,^, , . . . ,^« les n intégrales distinctes de cette équation. Lorsque x©, ...,:rn seront changés en x© -h cÇq» •••» ^fl-H£C/ï. ^Vi, . . ., ^u resteront invariables; car^,- se trouve accru de la quantité
Soit, d*auire part, t^ ce que devient io lorsqu^on Pexprimc en fonction de x©, J'i , • • • 7 JK/t, et posons
Vh '"^Xn étant traitées comme constantes dans l'intégraûon.
La transformation infinitésimale donnée, accroissant Xo c]<' 671 sans altérer^, , . . . , J^/i» accroîtra j'o de vr[ j-^ = £.
Si donc nous prenons pour variables indépendantes j'o, y'\i > . ., ynt le système transformé ne variera pas quand ou accroîtra y^ de e, sans changer les autres variables.
Cela posé, les équations de ce nouveau système, résolues par rapport aux différentielles dy^^ . . . , dyn^ donneront un résultat de la forme
Pour que ce système se reproduise quand on accroît yo dune constante e sans altérer les autres variables, il faut évidemment que Y|, . . . . Y» soient indépendants de yo*
56 TROISIÈIB PARTIS. — GBAP1TR£ I.
Il suffira dès lors, pour intégrer ce système : i" D'intégrer le système d'ordre n — i
dyx dyn Y, Y„'
ce qui donnera ^j, . . . , ^;, en fonction de j'i ; a^ De substituer ces valeurs dans l'équation
laquelle donnera yo pstr une simple quadrature.
50. Parmi les cas d'inlégrabilité de l'équation (19), le plus simple est celui où les variables sont séparées, ^0 dépendant de Xq seulement, ^1 de Xt seulement, etc. Le système
d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les intégrales suivantes :
/dxx C dx^
i^ Supposons, par exemple, que ioi • • • ? i/< soient des constantes. Il faudra, pour réduire le système, prendre pour nouvelles variables les quantités
X^ Xq Xfi Xq
et
2® Supposons, en second lieu, Ço=-2, -.., Ç,, = -->
tQUATIOKS DIFPÉ1IHTIILLB8 ORDIlfÀiaBS. 5j
n^, , . .y Gn étant des constantes. Les équations (ao) deviendront
a^ dx^ (Il dxi a„ dx^
On en déduit
a^ log j?o — a,- log JT/ =: const. ( / — i , . . . , /i ) ou, ce qui revient au même.
= const.
Il faudra donc prendre pour nouvelles variables
dx
^'' = ^.* •••^ -^""ïï-'
