Lorsqu'on a une équation unique

il est généralement avantageux de la remplacer par le système simultané

, . dy , d/ . dy'*"^ ^, ,

Ce système est susceptible d'abaissement, diaprés ce qui précède :

I" Si l'équation primitive (ai) est homogène par rapport à 7 et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidemment la transformation infinitésimale qui remplace^, ^, ... par y -+- ty^ y+ ê^» • • • ^ sans altérer x ^

2*^ Si l'équation primitive se reproduit à un facteur près, lorsqu'on y change x et y en x -^tXj y-^ty] car le système (sa) admettra la transformation infinitésimale qui remplace ar, jK, y, y? •••, y"'* par x + ex, y-^ty, y, /- e/, . . . , y'*-' — (/i — a)€^'»-«;

58 TROISiftMB PARTIR. — CUAPITRB I.

3** Si Tune des deux variables x, y ne figure pas explicîtemeat dans l'équation primilive; car celte variable ne figurera que par sa diflerentielle dans le système (22) et pourra se déterminer par une simple quadrature, quand on aura intégré le système d'ordre n — i, obtenu par rélimination de cette différentielle.

52. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer j*, ...,^'"~*, qu'à intégrer un système d'ordre n — k

y — v*-»-> -^ — fi-r V* v«-h

dx~^ ' "•' dx —J'^^^y ^'->y )'

Ayant ainsi déterminé y^, on trouvera, par une série de

quadratures,

r*-* i=.fy^dx^

puis

y'^-^^fdxi.Sy^dx),

expression que nous représenterons par la notation suivante :

On trouvera de même

7*-» — fy^-'^ cLc — fy^ dx* et enfin

53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées par une quadrature simple.

Soit, en effet, /(x) la valeur trouvée pour y^ en fonction de X, On aura, pour déterminer 7, à intégrer l'équation

Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme

ÉQUATIONS DlfrtEBfTIBLLBS OlOllfAllIBS. 5^

solution, rintégrale définie

Prenons, en effet, les dérivées successives de celle expression par rapport au paramètre x; il viendra, en remarquanl que f{t){x — /)*"* et ses k — a premières dérivées par rapport à X s^annulent pour f = x,

Posons maintenant^ =^,4-2 dans Téquation proposée ; il viendra

^^o, d'où 4;i=P^i,

Pki désignant un polynôme arbitraire de degré k — i. La solution la plus générale de Féquation proposée sera

donc