COS
Les courbes cherchées auront donc pour équation difiereniieile
["^(^j J . / — Tdyy
rfx»
ou
dx' Cette équation du second ordre équivaut aux deux sui-
6q troisième partie. — CHAPITRE I.
vantes
On déduit de leur combinaison
v'^k' dy
et en intég^rant,
ou
îlog(i4-/*)~ ^logr^-const.,
cl enfin
Parmi les cas d'intégrabîlité de cette expression, on doîl signaler parliciilièrement les suivants : i» /i = — 1, d'où
La courbe est un cercle ayant son centre sur Taxe des y\ 2° n = i ^ d'où
r cdy
J ^yrr-ii
loff^^ 1^
tQUATlOlfS DIPFfiRKVTIKLLES 0BDI1VAIBB8. 63
d'où
ce ^
y — \ly^ — C = ce ^ et enfin
yz^C >
cqualion d^ane chaÎDetle.
3** /i = — 2, d'où
Posons
il viendra
/^* /r^cos(P c . , r ^ ? <^ • j
= -12 sin'- çt/f = - / (i — cos©)cf<p = - (© — sinîp)-hc'.
La courbe est une cycloïde.
4° /i = 2, d'où
('quation d*uae parabole.
o6. Proposons-nous, comme dernière application, de déterminer le mouvement d^un point attiré vers un centre fixe p'ir une force égale à wî/(r), /• désignant le rayon vecteur el m la masse du point mobile.
Prenons pour origine des coordonnées le point attirant, et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les principes de la Mécanique, la loi du mouvement sera donnée
64 TROISIÈSB PARTIS. — CHAPITRE I.
par les deux, équations
On déduit de ces équations les combinaisons intégrablcs
suivantes
d^x (Py d / dû!: dy\
"" "^It} '''^W-'dtYdt'''^di)
et
dx d^x dy d}y ,, ,xdx-^ydy
dt dt* dt dl* •' ^ ' r dt
\ d dx' -h dy- dr
-2d} — dF^-^J^^'^-dr
dont rintégration donne deux équations du premier ordre
dx dv
-^ dt dt
1 dx^ -h dy^ - - . . ,
Remplaçons les variables x, y par des coordonnées polaires
o^ir: r cpstc, j^m/'sino);
ces équations deviendront
(24) -^^ -^ff{r)dr = o;
d'où, en résolvant par rapport à dw et dt gI intégrant,
cdr^
ryj-c*'^2r^SJi,r)dr'
rdr^
>/^^d^-^r^SAr)dr
Le problème est ainsi ramené aux quadratures.
Les formules précédentes contiennent, comme cela devait
tQCATIONS DlPFfiRBNTIBLLCS ORDINAIRM. 65
itre, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois constantes introduites par les intégrations.
57. Appliquons ces formules au cas de l'attraction newto* nienne, où/(r) = — p» k désignant une constante, et M la masse du point attirant; on aura
//(/•)rfr = -^-Hc',
(loù
cdr
co
\J — c*-h ik}\r — ac'/**
I , du •u, en posant r = - > ar :=^ j>
cdu
J yj^^^
-+- aX:Me< — c*u} c^ du
c^u — kU.
= arc cos ■ h- c ,
c*ii = X:M -^v^A:'M'— ac'c' cos ( w —c') ou
r itM -h v^A:«M»— ac'c« cos(w — d')
I 4-eC0S(ti) — c')
en posant, pour abréger,
On aura enfin
^ ^ C c[n-ecos(w — c")]-
équation qui déterminera t par une quadrature. J. — Cours, III.
66 TROISlftMB PARTIE. — CHAPITRE 1.
Le problème deviendra complètement déterminé si l^on donne à un instant quelconque /« les coordonnées r^, ci>o du mobile, sa vitesse initiale (^o ^t Tangle olq qu^elle fait avec le rayon vecteur. On a, en efiet, en appelant v la vitesse à un instant quelconque, a Tangle qu^elle fait avec le rayon vecteur
Les équations (23) et (^4) peuvent donc s*écrire
On aura donc, en posant / = o,
, kM , ,
On déterminera ensuite c^ en posant t= t^ dans Téquation (25); enfin, Téquation (26), intégrée de to à ^, donnera
^^J^ c[n-ecos(u) — c')p'
L'équation (a5) entre r et (o fait connaître la trajectoire du mobile. C'est une conique ayant un foyer à l'origine. Ce sera une ellipse si c'>o, une parabole si c'=o, une hyperbole si c'< o.
On a, d'autre part, en désignant par A Taire comprise entre la courbe et les rayons vecteurs r et Tq,
^r* d(ù =zd\.
L'équation (28) peut donc s'écrire
dk
fiQUATIORS DiFPÉRSIfTIBLLIS OIDUIÀIBIS. 67
d oà, en intégrant de i^ à t,
Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc pro^ portionnelles aux temps correspondants.
Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de temps sera Taire totale tzab de Tellipse. On aura donc
•Kab = -T.
D'ailleurs
cz=^lcM]} = i/kM-.
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il viendra
aira*
s/kM
La durée de la révolution est donc indépendante de ^excentricité de l'ellipse, et proportionnelle à la puissance I de son grand axe.
Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales énoncées par Kepler.
IT. — Équations linéaires aux différentielles totales.
S8. Les systèmes d'équations différentielles simultanées ^ludiés dans la Section précédente ne sont évidemment qu un cas particulier des systèmes d'équations linéaires aux diOerentielles totales, de la forme
68 TROISlkMB PARTIE. — CHAPITRE I.
Cherchons à déduire de ces équations une combinaison intégrable
On aura évidemment
âûT,
Éliminant les [x, on voit que (f sera une intégrale commune aux tu équations aux dérivées partielles
Supposons que ces équations admettent n intégrales corn* munes distinctes fi, ..., o„ (nous verrons plus loin dans quel cas il en est ainsi). Soient j^i, ..., y m de nouvelles fonctions des x, formant avec les <p un système de fonctions distinctes. En prenant les cp et les j^ pour variables, les équations (2) prendront la forme
et seront manifestement équivalentes aux suivantes :
-^ r^i Oj • • • t ~5 — O.
La forme la plus générale des fonctions qui satisfont à ces équations est évidemment
(p = F(jp,, . . ., <f„),
F désignant une fonction arbitraire.
Les fonctions cpi, ..., ^n étant des intégrales du système (2), on aura des relations de la forme
'?i=y^ri-F*,
ÉQUATIONS DIPPÉftEITlILLBS OlDINÀllM. 69
el le système (i) équivaudra au suivant d'où Ton déduit
ç, = COnSt., . . . , Ça = CODSt.
S9. Le déterminanl |x des coeflGcients 1^^== -y^ ^^ nomme
le multiplicateur correspondant aux intégrales f i, . . . , f^. Eq remplaçant ce système d ^intégrales par d^autres systèmes d'intégrales distinctes, on obtiendra une infînité de multiplicateurs, et l'on voit, comme au n^ 43, qu'ils ont pour forme générale jj.F({p,,.. .,?«).
Soient a Tun des nombres i, a, •.., m; ^ Tun des nombres iw-f-i, ..., m-^n. Désignons par D^ ce que devient le déterminant [i lorsqu'on y remplace les éléments
^^ (t = . , 2, . . . , /i) par les ëlémenls ^ = "S*^? feî on aura évidemment
On en déduit par différentiation, comme au n^ 44,
^ = m-hn
Réciproquement, toute solution commune pi' des équations (3) est un multiplicateur; car, en posant p.'=|jLv, on verra que v est une intégrale des équations (2); donc v sera de la forme F(f 1, . . . , fn)^ et |a' sera un multiplicateur.
60. Si l'on a réussi à déterminer i intégrales distinctes ^f, . . .y cpi du système (a), on pourra, comme au n° 45, en les prenant pour variables indépendantes avec d'autres fonctions ^1 , . . . , ym+n-i choisies à volonté, remplacer le sys-
tème (i) par un système équivalent, de la forme
(5) df^--\Y'ldfh = o (A: = m-M,...,/7i4-/i — /).
On en dt'^duit
<pi = const., ..., <p/z=z const.,
et il ne restera plus qu'à intégrer le système des n — i équations (5).
D'ailleurs, si Ton connaît un multiplicateur du système (r), on en déduira, comme au n® AS, un multiplicateur de ce nouveau système.
Si donc on a réussi à déterminer n — i intégrales et un multiplicateur du système (i), il ne restera plus qu'à intégrer une seule équation, dont on connaîtra un multiplicateur. Le problème sera donc ramené aux quadratures.
61. Les considérations qui précèdent nous conduisent à chercher les intégrales communes à un système d'équations aux dérivées partielles de la forme (2). Mais il conviendra de généraliser la question^ en cherchant les intégrales communes à un système d^équations de la forme plus symétrique
Xj -7— h. . '-^^m+n 'T~ ^^^ ^ (/i = I, Q, . . . , iJl),
Si nous désignons par X^ l'opération ces équations pourront s'écrire ainsi
Cela posé, toute solution commune à deux de ces équations
tQUATIOHS DIFFÊmENTIELLBS OIDINÀIRBS. 7I
satisfera à l'équation nouvelle
.=xa.,-x.x.,=^^(xf«-xj«);^-
(p = i, ,/7i-H/i; (j=ii,...,m-4-n);
car OD a séparément
Si d^ailleurs nous désignons pour plus de clarté par/>i, pm+a les dérivées partielles -r-=-> • • • , -r — = — i on aura
X'<p =: X{/?, 4-. . . -h Xi,^„ /?«+„, X*ç ::= X*/?i 4- ... -h X* ^.^ p,
'm-t-nj
et le symbole (X'<p, X*y), défini comme au n® 47, aura pour Taleur
Ainsi, toute intégrale commune aux équations
satisfera en outre aux équations
X'X*(p — X*X'^ = (X'<p, X*fp) = c (/=!, 2, . . ., m; X:=r I, 3, . . ., m),
lesquelles sont, comme les précédentes, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles de cp.
Si parmi ces équations nouvelles il en est qui soient linéairement distinctes des équations primitives, on pourra les leur adjoindre et recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété. En continuant à suivre cette marche, deux cas pourront se présenter :
I** On arrivera à un système contenant m-\-n équations distinctes ; on en déduira
3"^ m o, -7-î- =0, . . . , d où o 1= const.
'J2 TROISlftHE PARTIE. — GHAPITRB I.
En dehors de cette solution banale, les équations proposées n'auront donc aucune intég^rale commune.
2® On arrivera à un système
X*<p = o, ..., X'tp=i:o {/<m-hn),
tel que toutes les nouvelles équations que l'on peut en déduire soient des combinaisons linéaires des précédentes. Ce système satisfera donc à des relations de la forme
X'X*7 — X^X'<p =z (X'ç, X*(p) = «i*X«<p 4-. . .4- aJ*X'ç
OLi les a sont des fonctions des x.
Un semblable système se nomme un système complet.
62. Si dans un système complet nous prenons pour variables à la place de x^^ x^^ ... de nouvelles variables y^^ j'a, . . ., le système transformé
sera encore un système complet; car les opérations Y*, . . . , Y' n'étant autre chose que les opérations X*, . . . , X', différemment exprimées, on aura encore
Y^Y*^ — Y*Y'(p = ai*Y»<p4-...-+-aJ*Y'(p,
et il ne restera qu'à exprimer les quantités a en fonction des nouvelles variables j'.
D'autre part^ tout système
A'<pr=a'iX*<p-|-. . .-H aJX'<p = o (1 = 1,2,...,/)
équivalent au système complet
« est lui-même un système complet.
En effet} l'expression
ÉQUATIONS DIFFÉBe^TIZLLE> 0&DI5AIRES. 7j
tsi une somme de termes de la forme
Or(a^, a^) est évidemment nul, puisque les a ne conliennent pas les variables p\ d'autre part, (ax,Xi*^), (X^^, aj^) se réduisent à des fonctions des x] enfin (X^^ , Xt^f ) s*eiLprime linéairement au moyen des X* ç, . . . , X'jp. Donc (A'ç, A.*<p) est une fonction linéaire de ces quantités, qui sont ellesmêmes des fonctions linéaires de A* ^ , . . ., A'f .
63. Étant donné un système complet, contenant m équations, par exemple, où figurent m + /z variables jTi , . . . , fflH.li, ou obtiendra, en résolvant ces équations par rapport
à -p-> • • • > ^ • 9 un système équivalent, de la forme
ik dxk
(6) ^-<-> Aï^-^=A"0 — O
OXh AUk OXk
{A = i, 2, . . ., m; A:=r m -hi, . . ., m -h /i).
D'après ce qui précède, ce nouveau système sera encore complet.
Les systèmes complets de la forme (6), auxquels nous pouvons dorénavant borner notre étude, ont reçu le nom de systèmes jacobiens.
Pour ces systèmes particuliers, les équations de condition
qui caractérisent en général les systèmes complets, se réduisent à la forme plus simple
En effet, (X'cp, X*<p) est évidemment indépendant de ~i • • • »
■^9 tandis que a'*X*<p + a'^*X^y 4-. • . contient ces djri- ^ées respectivement affectées des coefficients a^*, a^*,
Ces expressions ne pourront donc être identiques que si les a sont tous nuls.
64. Théorème. — V n système jacobien formé de m équalions entre m-\-n variables admet n intégrales distinctes.
Nous avons admis provisoirement dans la section précédente la vérité de ce théorème pour le cas d^une seule équation; et nous pourrons évidemment supposer dans la démonstration qu^il ait été reconnu vrai pour les systèmes formés de moins de m équations.
Soit
<7) X*o=io, ..., X'»<p=:0
le système proposé. La première équation, considérée isolément, admet m-{- n — i intégrales distinctes y^i . . . , ym^n- Soit^i une autre fonction quelconque, distincte de celles-là. En prenant les^ pour variables indépendantes, nous obtiendrons un système transformé
X'^a ^ M? ^ -+- MJ ^ -h . . . i=r o (A = 1 , 2, . . . , m), àyi dyt
-dont la première équation, admettantes, ..., ym^„ pour intégrales, se réduira à son premier terme
àyt
Ces équations, résolues par rapport à ^-^, • • •> -r-^> don-
oyi oym
lieront un système jacobien
àyh Lkk dyk
iQCATIONS DlFFfiBBNTIBLLBS OBDINAIRBS. 7$
Or on a évidemment
<^'"'""=LSîf.^
et, pour que cette quantité s*annule identiquement, il faut qu on ait
àfy
Les équations (9) sont donc entièrement débarrassées de la variable ^'1 . Elles forment, d'ailleurs, un système jacobien de m — I équations à m + /i — i variables y 2, . . . , ^m^nt lequel système admettra par hypothèse n intégrales distinctes. Ces intégrales, ne dépendant pas de yt, satisferont encore à Féquation (8). Il ne restera plus qu^à remplacer dans leur expression ^a, . . . , ym^n par leurs valeurs en Xi , . . . , Xm+n pour obtenir les intégrales correspondantes du système primitif.
