Soit
le système d'intégrales distinctes du système (7), dont l'existence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées comme fonctions de Xm^tj '-'j^m^n seulement, seront encore distinctes.
Admettons, en effet, qu'elles satisGssent à une relation de la forme
L*opération X^, appliquée à cette identité, donnerait àF^. dF ^. dF dF
(car ç,, . . . , Ç;, sont des intégrales de l'équation X^<p = o). La fonction F serait donc indépendante de 27| , . . . , Xm^ et les fonctions ^ 1, . . . , ^ ^ ne seraient pas distinctes, résultat con-' traire à leur définition.
T6 TBOISifcMB PARTM. — CHAPITRE I.
Posons maintenant
^n ' - 'yC,n désignant des constantes arbitraires. Les quantités ^1, . . ., ^n^ définies par ces équations, seront des fonctions distinctes des intégrales primitives (pi(^i, .. .,^m+/i)- Elles formeront donc un nouveau système d^intégrales distinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéristique de se réduire respectivement à ^m+n •••^ ^m+vi> lorsqu'on donne simultanément k Xi, ..., x„i les valeurs particulières C( , . . . , Cm'
Cela posé, remplaçons les m premières variables j:,, . . ., Xm par de nouvelles variables ^i, ...^v^f définies par les relations
(lo) o'f. — cu-h (7i — c,)7/, (/i — 1,2, ...,/?0,
et résolvons les équations transformées par rapport à -r-^> •••, -r-^« Nous obtiendrons un nouveau système jacobien
(M) Y^=A+yYÎ.-g- = o
Ofh LUk OX'k
( /i =1 1 , 2 , . . . , /n ; A' zn m -h I , . . . , wi -h /2 ).
Les fonctions ^i, ..., ^/i, exprimées au moyen des nouvelles variables, donneront un système d'intégrales distinctes des équations ([ i). Elles se réduiront d'ailleurs respectivement à Xm^^y . ••yXm^n lorsque y^ =C|, quels que soient y^y •••î^m; car, pour y^z=Cs^ les équations (lo) donnent
X\ = C| , • » • , Xm = Cfn»
66. Pour intégrer le système transformé (ii)» il suffira, comme Ta montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique
(la) Y>©i=o.
A cet eSet, nous remarquerons que cette équation admet les intégrales ^i, ..., ifn^ lesquelles, jointes aux intégrales
ÉQDATIOHS DirFtKB!«TIIU.R9 ORDIRÀIKES. 77
évidentes ^j, . . . , y^^ donneront un système de m -h /i — i intégrales distinctes. Toute autre intégrale
de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle que
Si dans Fégalité nous donnons à ^4 la valeur constante Cd il viendra et, par suite,
On voit par là qu'une intégrale quelconque / de l'équation (12) étant supposée connue, on obtiendra immédiatement son expression en fonction de j^s, . . .^j^my ^m • • «i ^/ly en remplaçant dans la fonction / les variables yi , Tm^tf . • • 1 XflUHipar c«,^,, ..., ^'a-
Cela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer l'équation (12), en y considérant ^1 , oT;,,^,, ..., Xm^n comme seules variables, et ya^ • • -^ym comme des paramètres (ce qui revient, comme nous Pavons vu, à déterminer une solution générale d'un système de n équations différentielles ordinaires). Soit /i, ...,/;, un système d'intégrales distinctes de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir,
Fi^ ..., Fn étant des fonctions connues de jo» •••> ym] V<7 "M ^/i9 ^^ îl suffira de résoudre ces équations par rapport à 'i,, ..., 6„ pour déterminer ces fonctions, lesquelles forment un système d'intégrales des équations (11). D*ail- Wrs, la résolution de ces équations ne sera jamais impossible, caries fonctions j%, ...,^/if;/i, .. ,//i étant distinctes,
/îy • ' "ifn sont nécessaîremenl des fonctions distinctes par rapporta if%j . • ., tj/^,.
67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance d'une seule intégrale /j de Téqualion (12) permet de déterminer une ou même plusieurs intégrales du système (i i)- On aura, en effet,
F| étant une fonction connue. Résolvant cette équation par rapport à <{/|, on aura une relation de la forme
où 0| est une fonction connue.
Eflectuons sur cette identité l'opération Y^, h désignant l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. Il viendra, en remarquant que Ai, . . ., i{/„ sont des intégrales de Y*© = o,.
o = Y"0, = |^YVi-4-... + T^Y^^«-«.
Le second membre de cette équation est une fonction^ connue de ys^ . • . , Xm+n \ ^29 • • • > ^/i* S'il ne s'annule pas identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités t|/, par exemple i/2 î car les variables y\^ . . . , Xm^n sont indépendantes. En résolvant par rapport à ^2? on obtiendra une relation de la forme
Effectuons sur celte équation l'opération Y*, on en déduir» une nouvelle équation pour déterminer ^^^ et ainsi de suite jusqu'à une dernière équation qui donnera ifn- Le système (i i) sera dès lors intégré.
On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opérations que si Ton arrive à une équation
ÉQUATIONS DlPPÉRBIfTIBLLBS 0RDINAIKB8. 79
pour laquelle on ait identiquement
Mais alors, en remplaçant dans 9{' les fonctions inconnues ^141 ^ ' ' <i^n psir des constantes quelconques, on obtiendra une fonction <fi qui satisfait évidemment aux mêmes équalions, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i i)-
68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude, le théorème suivant :
Pour qu'un système d'équations aux différentielles totales
(A=: I, 2, . . ., m; k=zm-+- ly . , ., m-^ n)
admette n intégrales distinctes
tpi =1 const., ..., <p;, = const.,
il faut et il suffit que les équations aux dérivées partielles
forment un système jacobien.
Cette condition étant supposée remplie, la recherche des intégrales du système dépend de l'intégration d'un système de n équations différentielles simultanées.
Chaque intégrale de ce dernier système fournira au moins une intégrale du système proposé.
69. Soit S un système d'équations aux différentielles totales de la forme (i) et admettant n intégrales distinctes ?ij •••> ?/!• Si nous y changeons oTi, ..., Xm^n en Xi + eii? •••i J^m.^ -h cim+nj ^ étant un paramètre infiniment petit, dont nous négligerons le carré, et Ç| , . . . , ^m^n des fonctions de •Tt, . . . , Xm-t-nj nous obtiendrons un autre système S'.
8o TBOISIÈKB PARTIE. — CHAPITRE I.
A toute intégrale cp du système S correspondra évideoiment pour le système S' une intégrale
en désignant par A l'opération
ta ta
\x-. h... -ht
Cette opération est complètement définie quand Ç|, ..., 5m+ii sont donnés, et réciproquement. Soient d^ailleurs y\^ • • • ï JKm+/i de nouvelles variables quelconques, fonctions des X. Lorsque jti, ..., Xm^n s'accroissent respectivement
de eÇ|, ..., êÇ/w+zi, ^'/s'accroîtra de
(^ ^^'-4- -4-f JyLS\
quantité que nous désignerons par eTj/. D'autre part, on a évidemment
dxt dxi dfx dxi ôft On déduit immédiatement de là l'égalité . d c à à ^
-h. . .H- Ç/«4-»-n — ""ïl 37! ^
" d^. ^ • • • ^ *'»"» dar„^„ -■"()/, ^ ••• ^ •'»-" dy
L'opération associée à la transformation infinitésimale considérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables indépendantes.
Nous désignerons, pour abréger, par A® la transformation inGnitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par suite, change l'intégrale y en <p -h e A<p; et nous dirons que le système S admet celte transformation infinitésimale Aq si le système transformé S' est équivalent à S.
Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équivalent au système
û?<Pj — o, .... rfç„ = o,
ÉQUATI05S DIFrtKBXTIItLLBS OIDINAIKES. 8l
auquel S est équivalent; el, par suite, que les systèmes S et S' admettent les mêmes intégrales.
Or à toute intégrale f de S correspond une intégrale 0 + cAs de S^ Celle-ci devra être une intégrale de S, ou, ce (jui revient au même, A^ sera une intégrale de S.
Si donc nous désignons, comme précédemment, par
X'^o=4^- ^\ X^4^zr^o (/i = i,a,...,m) ' dJCh Làk àxk ^ , » » ;
les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les intégrales de S, ces équations devront entraîner comme cotiséquence les suivantes
X^'Aor^o (/i =3 I, a, . . ., m)
ou, ce qui revient au même, celles-ci
X*A«p — AX"oi=(X*(p,Aç>)=ro {/i =11,2,..., m)
[car on a identiquement AX*ç = A(o) = o]. Cela posé, le système formé des équations
X*(p = o, (XA<p,A<p) = o (^ = 1,2,..., m),
admettant n intégrales distinctes f i, . . .^ ^n% ne pourra conlenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura
donc
(i3)(XAç>,Ao) = aîX>-t-...-+-aî,X'«(p (/l=:I,2,...,/70,
les coeilScients a étant des fonctions des x. D'ailleurs il est évident que ces conditions seront suffisantes.
