Toute expression de la forme

représente une transformation infinitésimale de S en lui-

même.

J. - C^urt, III. G

82 TROISifeMR PARTIE. — CHAPITRS I.

En cfTet, on a (x"<p, ^ 5,X'çj =^ [$,(X**, X'<f) + (X*y, Ç,)X'ç]

ocir (X^'j), X'cp) est nul; et, d'autre part, on a

àJ^h Làk àxk Si donc S admet une transformation infinitésimale

il admettra évidemment la transformation

B'^ = Ap - Ï.X'cp -. . .- UX-Q,

laquelle se réduit à la forme

y. do ^ do

Il nous suffira évidemment d'étudier les transformations de celte sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'adjonction d'une fonction linéaire de X'cp, ..., X*"^.

Pour les transformations de la forme B©, les équations de condition (i3) prendront la forme plus simple

(X^'^p, Bq) = o;

car le premier membre de ces équations, ne contenant pas

les dérivées partielles -r-^ ? •••> t-^> ne pourra se réduire à

une fonction linéaire de X'cp, . . ., X*"'^ que s'il s'annule identiquement.

71. Si S admet deux transformations Bcp, B'ip, il admettra la transformation (B©, B'cp).

ÉQU4T10NS MPFtRUITlKLLBS OKMHAlRES. 83

Oq a, en effet (47), rideiitilé (X*?, (Bç, B») + (B^ (B>, X*^)) + (B>, (X*ç, B*)) ^ o.

Mais (X*3, B^) et (B'cp, X^^ ) sont nuls par hvpollièse ; donc celle égalité se réduira à

TS. Soient B'o, ..., B'cp des transformations du sjsh^me S qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si Tcxprcs-

sioo

est ane autre transformation du même système, ^i, ..., ^i ^c■^ontdes intégrales, et réciproquement.

On a, en effet,

.;X*o,Bç)=\ (X"<p,p,B'ç)

expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tons les coefficients X^^/ sont nuls, ce qui montre que pi ^st une

inlé^Tale.

73. Enfin, si Ton connaît un multiplicateur ul du système S et une transformation infinitésimale Bf , on en déduira une

•nlégrale.

Soit, en effet,

Nous aurons, quel que soit A,

ozz.(X>^<p,B*)

^iÔJChOXi jLuiLUkX oxk OxiJ oxi

i cl /{ variant de m -{- i ik m-{- n.

« 84 TROfSlfcHB PARTIR. — CHAPITRE I.

Dans celte identité, les coerficienls de chacune des dérivées partielles -j^ doivent être nuls sépaivmcnt; nous aurons donc

oJ^h ^k\ àxk dx

DifTérentions cette équation par rapport à Xi\ sommons par rapport à i et supprimons l<\s lernios qui se détruisent; il viendra

Zuiài'hôxi Zui^kK ^à'f'iôxk ^^ôxiôx/g)

~~' ' \ Zdi <)^'i ) \^m^i àXi )

Mais on a, d'autre part,

)Xh Zji (^f'i "

dix

ou, en dcveloppaiit et divisant par jjl,

Zji àx, ;x ° ^

L'équation précédente pourra dont- s'écrire

Cette équation, qui a liou pour h -^ },..., ni^ montre que

-I — -y Hloii'x iôx,

est une intégrale.

7i. Admettons qu'en conil)inanl les |»rocédés ci-dessus, ou aulreuicut, on ait réussi à ()l)lenir p intégrales dis-

fiQCATlONS DIPFÊRE.NTIKLLBS OIDINAIRES. 85

tînctes 9|, ..., ^p (lu système S* En prenant 9|, .. ., o^ pour variables à la placo île ./"wi+i, ..., Xm^p par exemple, 1rs équations X*ç = i» seront transformées en de nouvelles équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées

partielles ~ ^ - ■ - , -' > puisque Of, . . . , Op sont des solu-

lions.

On aura donc

'^-''A ^k OX^.

les X;^ étant des fonctions de 'J,, ..., 'vy,, .r„;^^,,.i, ...,

Soient B'c9, .... B'-jî. ... los transformations infinitésimales <{ue Ton suppose connues. On aura

D'ailleurs, Çi étant une intéj^rale, B'''^/= ^J- sera également une intégrale. Si nous admettons que nous avons tiré tout le parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette inté- ^lene sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de

Posons, pour^ abréger,

et supposons que, parmi ces expressions, il v en ail <y qui soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A'/. Les suivantes A'/^*. . . . seront de la forme

les coefficients y étant «les fondions des |3, et par suite étant des intégrales.

86 TROISifcMB PARTIS. — CHAPITHK I.

Cela posé, on aura évidemment

BX-f|io = y[i.B'<p h- ... -h t^Biff -h Di^ç,

J3(^^ étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se réduit à la forme plus simple •

^ÔX,

Admettons que, parmi les. transformations de cette sorte ainsi déterminées, il yen ait /«^linéairement distinctes D'tp, ...,

Toutes les autres seront de la forme

£jD'çp-h. ..4-e^D''o,

où les quantités Si, . . ., e^ devront être des intégrales, et par suite des fonctions de '^,, . . ., y^,.

Réciproquement, toute expression de cette forme représentera une transformation infinitésimale du système S.

Kn particulier, les transformations