Cela posé, deux cas pourront se présenter

1® Si /? -f- /• <[ n, les équations X^ç>-=o, D'ïp^o (/i = I, a, . . ., m; /==: I, 2, . . ., r)

entre les m-\-n — p variables X| , . . . , x,„, x^^p^y , . . . , x„,^„ (:p,^ . . ., Op étant traités comme des paramètres) forment uu système complet, en vertu des relations

(X'>,X*?)==o, (D'<p,X*^) = o, (D'cp, D*(p) =r e;*D'(p -h. . . -h e'/D»-?,

Ce système admettra donc a — p — /'intégrales, f;>+i, ...,

fiQUATIO!» MrFÉRKNTISLLIS OKM5AIRES. Sj

?a-ri qui sont évidemment celles des inlég^rales du système S qui ne sont pas altérées par les transformations D'f , ..., D^f . Lorsqu'on les aura trouvées (par rintégration d'un système de /i — p — /• équations différentielles ordinaires), les r intégrales encore inconnues dépendront de l'intégration d\in second système de r équations différentielles.

L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décom* poser en deux le problème de la recherche des intégrales ffp^i , Ou encore inconnues.

a** Si p -{- r = n^ la connaissance des transformations D's, .. ., D''o fournira un multiplicateur du système.

Soit, en effet,

D* ç =\ Va- .^- ( /i- = m 4- /? -+- 1 , . . . , m -h /i),

et désignons par A le déterminant des coefHcients ^j[; par J

lejacobien des intégrales inconnues '^p^\ f/i par rapport

aux variables Xk'

Formons le produit AJ par la règle connue ; on obtiendra un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quantités D'fi^. Or ces expressions sont des intégrales; donc -. sera une intégrale; d^ autre part, J est un multiplicateur; donc -s sera également un multiplicateur.

Or cette quantité est égale à ■-? quantité connue.

Y. — Étade directe des intégrales.

76. Les méthodes que nous avons exposées jusqu'à présent avaient pour but de trouver Tintégrale générale des équations différentielles. Mais elles ne réussissent, comme ou Ta vu, que dans des cas fort limités, et nous ne pouvons même assurer que rintégrale cherchée existe en général, car son existence a été admise sans démonstration.

Il est donc nécessaire de reprendre le problème de l'inté-

88 TROISlfcMB PARTIR. — CHAPITRE I.

gratîon, en le précisant, de manière à le rendre déterminé. La question ainsi posée peut se formuler ainsi :

I** Étant donné un système (inéquations di^érentielles normales

dy __ f. . ^ V ^^ / - N

démontrer quHL existe, sous certaines conditions à préciser, un système unique de /onctions y, z, . . . Jouissant de la double propriété de satisfaire à ces équations, et de prendre respectivement des valeurs données y^^ -So? - • pour une valeur donnée j^o de la variable indépendante ;

a'' Donner une méthode qui permette de calculer, avec telle approximation quon voudra, la valeur de ces Jonctions pour toute valeur réelle ou imaginaire de x;

3° Enfin, discuter les cas d'exception où les résultats établis se trouvent en défaut,

77. Supposons tout d'abord que les variables et les fonctions considérées soient réelles; et considérons, pour éviter des longueurs, le cas de deux équations

Nous devrons admettre pour la démonstration :

i^ Qu'aux environs du point (^0}^>'o? ^o) les lonctions fy

fi sont continues. On pourra donc assigner un domaine D

délini par les relations

dans lequel les inégalités

entraîneront les suivantes

X tendant vers zéro avec s.

ÉQUATIONS DIPrtilNTIKLLïS OtDIHAIRBS. 89

2° Nous admettrons en outre que daos ce même domaine 00 ail constamment

; f{x,y, z') - f{x, y, 5)1 < m[|/ j| + \z'- z\], \Mx, y, z')-Mx, Y, z)\<m[\y' - y\ + \z' - z\],

m désignant une constante fixe.

Les conditions cî-dessus, seules nécessaires à la démonstration, seront évidemment satisfaites si aux environs du point (jTo, ^01 5o) les fonctions/*,/! admettent des dérivées partielles finies.

Supposons-les remplies. Soit M le maximum des modules (le/, /i dans la région D; et soit p la plus petite des deux

quantités r, j^ •

Donnons à x une valeur quelconque assez voisine de Xo pour qu^on ait

Subdivisons l'intervalle x^x en intervalles partiels XqXi, Xij-j» ' • • t ^n-h^i et déterminons les quantités j'i, Zx\ 72, 5, ; . . . ; ^, z par les relations

Yx — J'o =^ Ji^Qi yoy -^ojv^i — -^0).

^k+t— ^k=^/l{^kj yk, ^k){^k+l—'^k)f

On déduira de ces relations

= M[\xi, — Xi^.i\'^., ,^\xi^y — Xi\]%M\xu— Xi\

etf en partie ulirr,

90 TROISIÈME PAATIB. — CHAPITBB I.

Les points (jti, j^-f, z^). . . . , (^,^, s) ne sortiront donc pas du domaine D.

78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les valeurs finales y, z tendront vers des limites déterminées. Pour l'établir, considérons deux modes de division A, A' dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus

petite S des deux quantités e, z-r et désignons par j/*, z et j^,

z' les valeurs finales obtenues pour chacun d^eux; nous aurons à prouver que y — y et z' — z tendent vers zéro avec e.

Nous pouvons évidemment admettre que tous les points de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon nous pourrions comparer successivement ces deux divisions A, A' à une troisième A^' formée avec tous les points de division de A et de A'. Ajant prouvé que y" — ^j -s" — z d'une part, et y — y y -s" — z' d'autre part, tendent vers zéro, on verrait immédiatement que leurs différences j^ — y, z' — z tendent aussi vers zéro.

Soient donc

les points de division de A';

.l'o» j^'o I » j'oï> •••> j^i» •••» yki yk\^ •••» y'k^x^ ^•••*yi

'^ot ''0 1 » *'i»s> • • • » '*' 1 > • • • ) •*» ■**! > • • • » '*'^+i y • • • j "^ j

la suite des valeurs correspondantes des deux variables y, ;:; nous aurons

yk+i—yk^A^k^yki ^k){^k^i'-^k)

d'où

/am 1 — 7a- — ( /*+! — 7a- )

^\ [fi^kij y'kh ^'ki) —fi^kt y'ki «*)3(^A:./-l-l— ^*/);

ÉQUATIONS DtFPÉftCIITIILUS OtDUfAllCS. gi

et, par saîte.

Mais on a

l'y^ki. y'kiy -i,) —A^jiy yk, ^k)\^\ f{^kh y'kh «i,) —fi^k, ri, 3;.)

■*- |/(^*» ri, ^i) -A^ky yky Sk)

Le premier terme du second membre est moindre que )v; car on a

l-ru — Xa-I < 0 < £, (y^., - vil < M|ar^f- ^i| < Mo < t,

^Ai — ^k\ '*^*«

Le second est moindre que

'"[Iri— r*!-+-l-i — «*!]•

On aura donc

!/ii-4i— VA-Hi!<L>'i— rA-l

On trouvera la même limite supérieure pour j^i^, — ^ij. Ajoutons ces deuii inégalités, et posons pour abréger

\rk-yk\'hWk-^k\-^- = yJk'

Aou5 obtiendrons la relation Multipliant ces inégalités, il vient

Or, on A rQ=yo, 5[j=>5o; donc Uo== — • Cette quantité

tend vers zéro avec e, el il en sera évidemment de même pour ly— j^l et |3' — :;[.

79. Les valeurs limites des quantités y^ z ainsi déterminées pour chaque valeur de x dans le domaine \x — J^o|>p sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations diflérentielles proposées.

Soient, en effet, y -H A^, z -h àz les valeurs de ces ibnclions correspondantes à x -}- Ax. Intercalant entre x et X H- Ax des points de division ^i , J'a» • • • 7 nous aurons

-Hlim\[/(^*, 7a-, -a) — /C-^, V, z)]{xi^i — x,,).

Or, si nous supposons A.r <[ S, le terme qui multiplie (^A+i — J^k) aura son module moindre que ).. La somme du second membre a donc un module moindre que

et sa limite ne pourra surpasser celte quantité. On auni donc

R étant un reste de module moindre que A, qui tendra vers zéro avec Ajc. Donc y a bien pour dérivée /{x, y^ z). On verra de même que z a pour dérivée/, (r, y^ z).

80. La solution que nous venons de trouver est la seule possible.

Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme j', :; de la double propriété de satisfaire aux équations différcn-

ÊQt'ÀTIOXS DIPFttBNTIBLLlS OBDIHAlftKS. gS

lielles et de se réduire à Vt, 5© pour a:=Xo. Les fonctions Y — J', Z — z auront respeclivemenl poar dérivées

Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour jr = Xo, elles ne pourront acquérir une valeur difTérente de ziT) qu'après avoir passé par toutes les valeurs intermédiaires.

D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — y^ Z — z seront moindres que e en valeur absolue, le module de leur dérivée sera <^/n.2e, et le module des fonctions elles-mêmes sera moindre que m. 2e |j: — x^\.

Il en résulte nue dans tout l'Intervalle de x^ — -, — à

J*o-^ -7 — les modules de nos fonctions seront -< - tant 4/71 a

(|irils seront <' £. Ils ne pourront donc atteindre aucune

(les valeurs comprises entre - et s, ce qu'ils devraient faire

pour pouvoir atteindre ou dépasser e. Donc ils resteront toujours moindres que £, cpiantlté arbitraire. Ils sont donc ih'cessai rement nuls.

I^e même raisonnement montre qu'étant nuls au point

J'o -î- 7 — > ils le seront encore de Xn -f- -, — a Xq -f- -, — > • •>

ri enfin, dans tout le domaine de Xq — p k Xq-\- p où nous avons pu définir les fonctions j)'', z.

81. Passons au eus des fonctions et des variables complexes. Soit encore

i:n système de deu\ é(|uations différeDlielles.

94 TaoïsikME rAftT». — cbapitrb i.

Nous aclmeUroDsicique(j;o)yo) 2«)soll un point ordinaire pour les fonctions y, /*!• On pourra donc, par définition, tracer autour de Xo, yoy z^ des contours fermés K, K', K", telsquey,/i, et leurs dérivées partielles restent monodromes et continues, tant que x^y^z ne sortiront pas de ces contours.

Soient rf, d', cP les distances rainfma des points x^, y^^^ ^o à K,

K', K"; S, S', S"' les périmètres de ces contours; M une limite supérieure du module de /et de/*, , lorsque ;r,

y^ z décrivent respective niiCnt ces contours.

On pourra écrire

/(•>p, yy ->=\««py.(^ — ^o)'*( j — Jo)^(- — -o)^,

ces développements restant convergents tant que les modules de ^ — Xo, y — j'o> 2 — 3o resteront inférieurs à d, d\ d'\ D'ailleurs

et Ton aura (T. I, no^206)

Mss^s;;- 1

et, « fortiori,,

en désignant par r la plus- petite des quantités d, d', d", et posant, pour abréger,

ÉQUÂTlOnS UrPftlIBXTIBLLES OMDINAlftCS. gS

On oblîendraîl la ménie limite pour le module de bapy Soient enfin jto^-H ^>^'o4- A', ^»4- / des points assez voisins de Xo, yo) ^ù pour que les droites qui les joignent à ces derniers points soient respectivement comprises dans Tin térieur des contours K, R', K*', et soient 8, S', 5'' les plus courtes distances de ces droites à ces contours; on aura

' ![/(-^Q -t- /i, Jo ^- A-, ^0 -h /) —/(J-O, Vo, Zo)]\

AI , \f--\ . \l\\ N

82. Ces préliminaires posés, clierchons à déterminer des fonctions j^, z qui satisfassent aux équations données

€l qui, pour x = x©, se réduisent respectivement à j'o -h A* et à :;o + /, A: et / désignant des constantes très petites. Nous poserons, à cet effet,

'* ( z^z,^i -^^di^,{x-x,)H^t*y^'" "''''' "•''^^'

Substituons ces valeurs dans les équations (3), développons le second membre suivant les puissances de a: — Xo, A*, /, et égalons les coefficients du terme général; il viendra

96 TBOISIÈMB PART». — CHAPITRE 1.

F et ^ étant des pol^DÔmes à coefficients positifs, formés avec ceux des coefficients a, 6, c, d^ où la somme des indices ne surpasse pas X -h pi 4- v.

Les équations précédentes déterminent, successivement et sans ambiguïté, les coefficients c et d\ ils seront donnés par des expressions de la forme

Fxav ei ^X|i.v étant des polynômes à coefficients positifs, formes avec les quantités a, b.

Les expressions (4), où les coefficients c, d seront déterminés par les équations (5), satisfont évidemment aux conditions du problème. Si Ton y groupe ensemble les termes afi'eclés des mêmes puissances de k et de /, on obtiendra un résultat de la forme

SpLv et Tfjtv étant des séries qui procèdent suivant les puissances de X — -Tq.

En supprimant dans les expressions précédentes les ternies qui dépendent de k et de /, il viendra

y — jKo — ^00» ^ — ^0 — T,

et il est clair: r'que ces équations donnent un système d^inlégrales qui se réduisent k y^^ Zq pour x = Xo] 2° qu^on aura

**""" p.! vl dy^JzY **'- \l\ vl ôy^^d

83. La méthode que nous venons de suivre suppose évidemment que les séries sur lesquelles nous opérons sont absolument convergentes. Nous allons vérifier qn^il en est ainsi tant que A*, /, x — Xq seront suffisamment petits.

ÉQUàTIOKS DIPPÉ1VNTIBLLI8 OBDUIAIUS. 97

Remplaçons, en effet, dans les séries (4) chacun des coef-

N ficients ûa^yi ^«PT P*'^ ^^ quantité ^^^ ^^> limite supérieure

de son module, et les quantités ky l par une raéme quantité positive m, au moins égale à \k\ et à |/|. Nous obtiendrons de nouvelles séries, à coefficients positifs, et dont chaque terme aura un module au moins égal à celui du terme correspondant des séries primitives. Celles-ci seront donc absolument convergentes si les nouvelles séries le

SODt.

Mais ces séries sont évidemment celles que Ton obtiendrait si Ton cherchait à déterminer des fonctions Y, Z, qui se réduisent à ^'o -f- /n, 5o 4- /w pour x = Xq, et qui satisfassent aax équations différentielles

dL N ■

Or on peut intégrer directement ces équations et s'assurer que ces fonctions Y, Z existent, et sont développables eo séries convergentes quand m elx — Xo sont suffisamment petits.

On en déduit, en effet,

dZ=:dY, et, en intégrant de Xq à Xy

Substituant dans la première équation, il vient

dY N

dx-^[r-^(x^Xo)][r^(Y-^y,)y J — Cours, ni. n

OU, en séparant les variables et intégrant de Xo à Xj

-î['--(V-r.)l'-i('-- »»)' = « iog(i-^=i£!)

Cl enfin

(7) Y-y,= r-y/(r-m)» -t-3Nlog(i-^-^V

La fonction de m et de j: — Xq ainài définie n'a évidemment de points critiques que ceux pour lesquels on aurait

X Xq j, ,

I =0, d OU X — Xo^= r

(,. - rny + 3N log/'i - ^-^) = o, d'où

X — Xq^=- r — re *^

Si donc on assujettit melx — Xq aux conditions suivantes (où q désigne une quantité positive -< /)

X — o^o I < /• — re *^^' ,

Y — ^'0 restant monodrome et continu pour tous les systèmes de valeurs considérés, sera développable en une série procédant suivant les puissances de /n et de j; — x© et convergente dans les limites ci-dessus.

Cette série se déduirait d'ailleurs de la série (4)^ qui donne y — ^oi en remplaçant Ar, / par m et les coefficients cxjjLv par une limite supérieure de leurs modules. On obtiendra une limite supérieure de la somme des modules de ses termes, et a fortiori une limite supérieure du module dc^ — j'o) en remplaçant m par gr, et x — J7o par son module dans la série, ou dans l'expression équivalente (7).

ÉQCàTIOXS DIPFfiRBfTIXLLBS 01DINA11B9. 99

Donc

el Ton obliendra la même limile pour le module de ^ — Zo. Si nous supposons maintenant que q tende vers zéro, la limite du module de a? — x^j en deçà de laquelle la convergCDce est assurée, tendra vers la quantité fixe

/• — re '*^,

que nous désignerons par p. Et, si |j: — Xo\ est assujetti à rester •< p — S, S étant une quantité positive quelconque, )>'— ^o| cl \z — Zo\ resteront constamment moindres que r — £, e étant une quantité positive, déterminée par la relation

Nous obtenons donc, comme conséquence de toute celte analyse, le théorème suivant :

Les équations (i) admettent un système d'intégrales y y z qui se réduisent à y^^ -5©, pour x = x^. Ces intégrales et leurs dérivées successiçes par rapport aux paramètres yQ, Zq, sont développables suivant les puissances entières et positives de x — ^o? ^^ séries convergentes, tant que le module de x — Xo sera moindre que la quantité fixe

Enfin, si ce module reste inférieur à p — o, les modules de y — y^et de z — Zq resteront inférieurs à r — *, s étant une quantité positive, dépendante de 5.

84. Les séries j^, r, que nous venons de déterminer, consliiuent le seul système de solutions des équations difTérenlielles qui se réduisent à^o? ^o pour x = Xq.

lOO TBOISifcMB PARTIB. — CHÂPITRB I.

Pour le montrer, considérons une ligne rectifiable quelconque L partant du point x^ et supposons a: astreint à parcourir cette ligne. Soient Y, Z deux fonctions définies le long de cette ligne, lesquelles satisfassent aux équations différentielles, et se réduisent à y^^ z^ pour x =^ x^. Nous allons établir que dans toute la partie de L où \x — ^o|< p — >;> 7) étant une quantité fixe quelconque, on aura nécessairement Y =y, Z = 5.

On a, en effet, dans toute cette portion de L

û désignant une quantité fixe qui dépend de r^.

Les fonctions Y — y^ Z — s admettent, par hypothèse, les dérivées

Elles ne peuvent donc varier que d'une façon continue, et leurs modules, nuls au point x^^ origine de L, ne pourront atteindre ou dépasser un nombre e (que nous supposerons infiniment petit) sans avoir franchi toutes les valeurs intermédiaires.

Or tant que ces modules seront <; s, on aura

j'\f{x,\,Z)-/{x,y,z)]dx

|Y-v|4-IZ-^| N

s désignant Tare de L compris entre Xq et x.

Si nous prenons t <i -f cette expression sera moindre que

tQClTIOTIS DlFPtRBNTIBLLU ORDUIAIIBS. lOl

et si Tare s est moindre que la quantité finie rr-^^ ^He sera

moindre que ~-

Donc sur cet arc 6ni 5, |Y — j\ (et aussi |Z — ^ i) ne pourront prendre aucune des valeurs comprises entre - et e. Ils

ne pourront donc atteindre ni dépasser la valeur e; celles;! étant arbitraire, ils seront nécessairement nuls.

On verra de même que |Y — y\ et |Z — z\ seront nuls le long d'un second arc de même longueur que le précédent et lui faisant suite; ils seront donc nuls tant que \x — x«| sera < p — 7^1» et enfin, 7^ étant arbitraire, tant que \x — Xq\ sera < p.

8o« Nous avons établi, par ce qui précède, qu'il existe un système unique d'intégrales y, z satisfaisant aux conditions du problème. Elles sont données sous forme de séries, dont la convergence est assurée dans un cercle C de TRyon p décrit autour du point x^^

Si la variable x sort de ce cercle, on pourra déterminer leur valeur de proche en proche par le j)rocédé déjà employé au Tome I pour suivre la marche d*une fonction analytique.

Supposons que x décrive une ligne L issue du point Xq] soient Xi un point de cette ligne, encore situé à l'intérieur ^^ ^9 y il ^i les valeurs correspondantes de y y z. On aura l^« — ^o|<'',Iri— ro|<r,|^,— ^o|</'-Le point (x«,^<,^,) sera donc un point ordinaire pour /, /f et les équations différentielles admettront un système de solutions se réduisant à r,, Zt pour X — Xt. Ces solutions seront des séries de puissances de x — Xi; soit C| leur cercle de convergence certaine; pi son rayon.

Ces éléments de fonction analytique ayant pour centre x^ seront contigus à ceux qui avaient pour centre Xq et permettront de déterminer les valeurs de jk» ^^ de x^ à X2j X2 étant tin point choisi à volonté sur L, au delà de Xt , mais encore à rintérienr de C| •

lOa TR0I81ËMB PARTIE. — CHAP1TR8 1.

Au delà de x^^ l'Intégrale sera représentée par de nouveaux éléments de fonctions anal)^ tiques ayant leur centre

en X2»

En continuant ainsi, on finira par arriver jusqu'à rexlrémité de la ligne L, à moins que les rajons des cercles successifs p, Pi, pa, ... ne forment une suite convergenle; auquel cas il pourrait arriver que le procédé ne permette de suivre la marche des intégrales que jusqu'à un point déterminé x' de la ligne L.

Lorsque x se rapprochera de x' en suivant la ligne L, diverses circonstances pouvant se présenter :

1** L'une au moins des deux quantités^, z ne tendra vers aucune limite, ou tendra vers l'infini;

2** Elles tendront toutes deux vers des limites finies j'', z\ Dans ce cas (x^^y^ z') sera un point critique pour l'une au moins des deux fonctions /, /|. En effet, si ce point était ordinaire, il lui correspondrait un certain rayon de convergence p'. Pour un point Xn infiniment voisin de x^y pris sur la ligne L, y, z prendraient des valeurs yny ^m infiniment voisines de y', 5', et le rayon de convergence p/,, correspondant au point (x„, y,„ Zn), serait infiniment voisin de p', au lieu d'être infiniment petit. On pourrait donc, au moyeu du cercle C/,, déterminer les valeurs de y, z au delà du point x^ ,

Le procédé indiqué ci-dessus pour suivre la marche des intégrales est peu satisfaisant au point de vue pratique. En effet, chacune des valeurs successives j^i , ^1 ,^a, >52î • • • exige, pour sa détermination, un développement en série, puis la sommation de cette série, opération compliquée et dont le résultat ne peut en général s'obtenir exactement. Or chaque erreur commise influe sur toute la suite des calculs. Il faudra donc opérer avec une très grande approximation, sous peine d'altérer beaucoup le résultat final.

86. La méthode dite des quadratures, que nous allons exposer, est sujette à ce même inconvénient, mais donne

«QUATIOIIS DIFFÉinf TULLES ORDIlfAlABS. lo3

liea à des calculs plus faciles. Voici en quoi elle consiste.

Marquons sur la ligne L une série de points x^f Xi^ , , ., Xm inlennédiaires entre Xf, et X, et suffisamment voisins les uns des autres; puis, déterminons deux séries de quantités >''n J 'ai • • • 7 ym^i ^' ^^ ^\ , ^j. - • • , -«„ Z' par les relations

//+!— /if — fK^i^ y'iy -/) i^i^x — ^i).

V et Z' seront des valeurs approchées de Y, Z, et l'erreur commise tendra vers zéro à mesure que Ton multipliera les points intermédiaires.

87. Nous justifierons cette méthode en cherchant une limite supérieure du module de l'erreur commise.

Soient i un point quelconque de la ligne L; t^, !^ les valeurs coH*espondantes des intégrales.

On peut déterminer par hypothèse une quantité r, telle que / et y*! soient développables suivant les puissances de X — ç, ^ — 7j, 5 — Ç tant que les modules de ces quantités ne surpassent pas r. Ce nombre r est une fonction de ç.

Si l se déplace sur L d'une manière continue, t^, 2^ variant aussi d'une manière continue, il en sera évidemment de même de r, lequel admettra un minimum différent de zéro. Soit R un nombre inférieur à ce minimum.

Si le point (x, y, z) se déplace, de telle sorte qu'on ait constamment sur la ligne L un point (i, t^, ^) fixe ou variable pour lequel on ait

l^-M^R> l/-^I^R, h-îl^R.

le point [Xy y^ z) décrira un ensemble borné et parfait où les fonctions/" et/*! restent finies et continues. Leur module ne pourra donc surpasser un nombre fixe [x. D'ailleurs, si \x — Ç|, \y — 7j|, |5 — Ç| sont < R ~ 3,

lo4 TROISIËMB PARTIE. — CHAPITRE 1.

8 désignant un nombre fixe, on aura

N étant égal à !iii^.

Cela posé, supposons les intervallesjTo^i) • - • ? ^a^a+u • • • ? tous <; ^ et cherchons une limite supérieure des modules des différences entre les valeurs j^i, 5j, . . •jJ'a, ^a, . - ., Y, Z des intégrales aux points x^y . , ., ^a, X et les valeurs approchées y^ , 3j, . . . , Y', Z'. On a

/a+1— 7a=/(^'a, ji, 4)(^A+i — ^A-)

d'où

jA + l — 7A4.1 = 7i — JA-H / [/(^, J', C) — /(J?A-, ri, 4)]^^-

Si nous supposons \y'j^ — y/i\y l^i — ^a| moindres que R — 5, le module de la quantité entre parenthèses ne pourra surpasser

{\x — Xk\ étant < X); on aura donc

l7A4.i-/il?|jKA-/A|

-^- [^ + IJa — Ja| -+- l^i— -a|] 34 kA4-t — -a^A-l-

On a une inégalité semblable pour ^i^, — z^.

Ajoutons ces deux relations, et posons pour abréger

Nous obtiendrons la relation

s désignant la longueur de la ligne L.

ftQDÂTIONS DIFPft&BKTIILLES OKDDIAIEn. to5

D'ailleurs, au point Xq, OBBy'^ = yo9 s'q = Zofd^oiilJ^=^'k.

Chacune des quantités UAet a fortiori chacune des quantités |7i — r*k h*— ^*l «t «nfin |Y'— Y|, |Z'— Z| seront donc moindres que

si les précédentes sont moindres que R — S.

Cette condition sera satisfaite, si Ton prend X assez petit pour satisfaire à Tinégalité

Xe«* <R — 0.

La limite d'erreur ainsi trouvée tend bien vers zéro avec X, comme nous voulions l'établir. La formule montre toutefois 1 imperfection de la méthode, car Tare s figure sous une exponentielle dans l'expression de Terreur à craindre. Pour peu que le champ d'intégration soit étendu, il sera difficile de multiplier assez les points de division pour obtenir une approximation suflisante.

88. On a souvent avantage à transformer les équations dîflerenlielles proposées par un changement de variables, avant de recourir aux quadratures. Ce procédé constitue la méthode de la variation des constantes, dont nous allons indiquer le principe.

Soient

(8) £=M + «N. ^-M'+aN'

deux équations difi*érentielles simultanées, où M, M', N, N^ sont des fonctions de x^ y, z etoL une constante très petite. Proposons-nous de trouver un système d'intégrales j^*, z se réduisant à^©? -Sq pour x = Xf^,

Si l'on négligeait les termes en a, les équations se réduiraient à

I06 nOISIÈHB PARTIE. — CHAPITRE I.

Supposons qu'on puisse délerminer, par un procédé quelconque une Intégrale générale de ces deux équations, représentée par deux équations

Le système d^intégrales particulières des équations (9) qui, pour x = Xq^ se réduisent àjKo) ^0 sera fourni par ces équations, en y donnant à c, c' les valeurs Co, c^ qui se déduisent des équations

Le système des intégrales particulières des équations (8) qu^on demande de trouver pourra de même être représenté par les équations (10), à la condition d'y considérer c, c' non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles inconnues à déterminer en fonction de x. Ces nouvelles variables devront : 1° se réduire à Co, cj, pour x = Xo] a® satisfaire aux équations diffère nti elles qu'on obtient en substituant dans les

équations (8), à la place dey, ;;, -^f -j^» leurs valeurs

dy __à/ àfd£ àfd^ dx dx de dx de' dx*

dz 09 â^ de à^ de'

dx dx de dx de' dx

Les équations ainsi obtenues, résolues par rapport à -^j

de*

■-r-i prendront la forme suivante

où P, Q, P', Q' sont des fonctions de x^ c, d*

Mais, si a était nul, c et c' seraient constants et leurs déri-

dc dc^ vées ^> ^ se réduiraient à zéro. Donc P et P' sont nuls, et

tQUATIOHS BIFPtlBNTliLUS OKDINÂlftBS. IO7

les équations précédentes se réduisent à la forme plus simple

de ^ dd ^,

On en déduit

c — Cg=z% j Q dXy c' — Cç r^ a I Q' dx.

Les fonctions Q et Q' contiennent, outre la variable d^in* tégration x^ les fonctions inconnues c, </. Mais les dérivées -T-9 ;7-> contenant en facteur la quantité a supposée

très petite, sont elles-mêmes très petites; donc c, c varient lentement, et, si le champ d'intégration n'est pas trop étendu, OD pourra, sans altérer sensiblement les fonctions Q, Q', y remplacer les variables c, c' par leurs valeurs initiales Co, c'^. On n'aura plus alors qu'à intégrer une fonction de x seul, ce qui est facile.

Si le résultat obtenu n'est pas jugé assez exact, on pourra remplacer c et </ dans les fonctions Q et Q' par les valeurs fournies par cette première approximation, et recommencer l'intégration, et ainsi de suite.

89. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que de calculer les valeurs numériques des fonctions y, z pour une valeur donnée de la variable. Il nous reste à tirer les conséquences des résultats trouvés au point de vue des propriétés analytiques de ces fonctions intégrales.

Leurs valeurs finales Y, Z en un point quelconque X dépendent, d'après notre mode de procéder, non seulement de la position de ce point, mais de la ligne L par laquelle la variable x se rend de Xq à X. Toutefois, si cette ligne est telle que la valeur x de la variable indépendante en chacun de ses points, associée aux valeurs correspondantes jk» ^ des fonctions intégrales, donne un point ordinaire des fonctions/ et/i, on pourra lui faire subir une déformation infiniment petite quelconque sans altérer les valeurs finales Y et Z.

I08 TaOISlfcHE PÀtTlB. — CHàPITRB 1.

En effet, chacun de ces points x est le centre d'un cercle dans rintérieur duquel j^ et ^ sont des fonctions monodromes de x. Le rayon R de ce cercle, variant d'une manière continue quand x se déplace sur L et n'étant jamais nul, ne pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe R'. Si Ton trace autour de chacun des points de L un cercle de rayon R', ces cercles recouvriront une région du plan dans l'intérieur de laquelle j^ et z seront évidemment monodromes. On n'altérera donc pas leurs valeurs finales Y, Z, si l'on remplace la ligne d'intégration L par une autre ligne quelconque \J ne sortant pas de cette région.

On pourra ainsi, sans altérer Y, Z, déformer la ligne L d'une façon continue, aussi longtemps que les valeurs simultanées de x^ y^ z correspondant à chacun de ses points seront un point ordinaire de /et de/i .Mais, si L prend dans le cours des déformations une forme telle qu'en un de ses points X, y, z soient un système de valeurs critique pour l'une au moins des deux fonctions /et/*i, le raisonnement se trouvera en défaut et il pourra même arriver que dans cette position de la ligne d'intégration Y, Z ne puissent plus être calculés par nos procédés.

Les points pour lesquels les valeurs simultanées de x^y^ z forment un système critique pour /ou/, pourront donc être (et seront le plus souvent) des points critiques pour les fonctions intégrales^, z.

90. Pour obtenir les éléments nécessaires à l'étude approfondie des fonctions intégrales, il resterait : i^ à déterminer la position de leurs points critiques; 2^ à étudier les variations de ces fonctions aux environs de ces points critiques.

Le premier de ces deux problèmes est malheureusement inabordable dans la plupart des cas; car j^ et z figurant, ainsi que X, dans la définition de ces points, on n'a, en général, aucune méthode pour fixer leur position a priori. On ne pourra les connaître qu'après avoir achevé l'élude des intégrales, qu'ils auraient dû servir à faciliter. Il y a là un cercle

tQUATlORS DlfTÉUlfTIIfXBS OROIKAIKBS. IO9

fideax, qui constitue la principale difficulté du problème de imtégratîoD.

Suivaut les circonstances, ces points seront isolés ou non ; ils pourront même constituer des lignes entières, auquel cas les fonctions y y z n'auraient une existence défmie que dans la région du plan que Ton peut atteindre, en partant du point initial x^, sans traverser ces lignes critiques.

91. n existe toutefois un cas extrêmement important, où Ton peut déterminer d'avance la position des points critiques : c'est celui où les seconds membres des équations différenlielles sont linéaires par rapport aux fonctions inconnues.

Considérons, pour fixer les idées, un système de deux équations de ce genre

U.) ^ = Aj.-hB. + C, ^=A> + B'^+C',

où Â, B, ... y G' sont des fonctions de a?. Soit x^ un point ordinaire de ces fonctions; on aura, tant que le module de •T — Xo ne surpasse pas une quantité fixer, des développements convergents

les coefficients a», 6a, ••• ayant pour limite supérieure de leurs modules une expression de la forme —• Cherchons un système d'intégrales

^nif pour x = x^^ se réduisent à y^^ z^. On déterminera les coefficients d^ e en substituant ces valeurs dans les équations

110 TROISlfcMB PARTIE. — GHAPITRB I.

différentielles. Il viendra, en égalant les coefficients des termes

en (x — ^o)^>

-4- 6x-, e, -f- ax/o -+- ^^0 -^- Cl,

Ces formules récurrentes donneront, pour les coefBcients </, e^ des expressions de la forme

^l = Fx, e\ — *xi

où Fx et <ï>x sont des polynômes linéaires et homogènes par rapport à^o, Zq et aux coefficients c, c/, les coefficients de chacune de ces quantités étant des polynômes à coefficients positifs, formés avec les a, 6, a', 6'.

92. Cherchons le rayon de convergence certaine de ces séries. Le cas le plus défavorable est évidemment celui où les coefficients a, 6, c, a', 6', c' sont remplacés par les limites supérieures de leurs modules, et j'oj ^o P^^ ^^"^ limite supérieure m de leur module. Dans cette hypothèse, les équations différentielles se réduisent à

dz dy M

djc dx X — Xt,

On en déduit

dy M . ^

et en intégrant, après séparation des variables,

J log 1Z±1 =- M rlogf I- ?-Il£î\

V = -i+.(.m-Hi)(.-^-^)

-iMr

tQUATlOIlS DtFFÉRKNTULLKS 0RDIII11RB8* I 1 1

Cette fonction n'a qn*an point critique, x = J?o + r. La convergence est donc assurée dans tout le cercle de rayon r.

Donc, quels que soient ^Of >So 9 les intégrales j^, >5 seront continues et monodromes dans toute région du plan où les fonctions A, B, C, A', B', G sont elles-mêmes continues et monodromes, et ne pourront avoir d'autres points critiques que ceux de ces fonctions. Encore n'est-il pas certain que ces derniers points soient critiques pour ^ et z.

93. Les exemples suivants, que nous empruntons à Briot et Bouquet, montrent comment on peut eflfectuer l'étude des intégrales, aux environs de leurs points critiques.

Soit l'équation dififérentielle

f{Xyjr) s'annulant pour j? = o,^ = o et admettant ces valeurs comme point ordinaire.

Cherchons celles de ses intégrales qui s'annulent pour 5r = o.

Si nous considérons x comme fonction de^, il viendra

Cette équation admet une seule intégrale monodrome x^ s'annulant pour ^ = o. Sa dérivée s'annulant également, elle sera développable en une série de la forme

Supposons que am soit le premier coefficient de la série qui ne s'annule pas. L'équation précédente, résolue par rapport ky^ donnera un résultat de la forme

y^l^x^-h^iO^-^-

Celle fonction a m valeurs correspondantes aux diverses

112 TEOISIÈXB PARTIE. — CHAPITHB K

déterminatioDS du radical x^\ elles se permutent les unes dans les autres lorsqu'on tourne autour du point x=^o, qui sera un point critique algébrique.

Le cas où tous les coefficients a^ s'annuleraient à la fois échappe à Tanal^se précédente. Il faut et il suffit, pour cela, que a: = o soit une solution de l'équation (i3) et, par suite, que /{Xyy) contienne x en facteur. Dans ce cas l'équation X = Oy ne contenant pas y^ ne permettra pas de tirer la valeur dey en fonction de x. L'équation (la) n^admettra donc aucune intégrale qui s'annule avec x,