Considérons, en second lieu, l'équation différentielle

OÙ /(^, y) a la même forme que dans l'exemple précédent. Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui s'annulent pour t = o.

Soit

Substituons, dans l'équation différentielle, à la place de j% une série

et égalons les coeilGcients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations de la forme

où (ppL est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé avec les coefficients a, et les quantités C|, ..., Cy,i.

Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de la forme

^^ étant une somme de termes ayant pour numérateur un

ÊQCATION8 DIFFtftBHTlSLLBS ORDIHAIUS. 1 13

prodait de coeflicients a, multiplié par an entier positif, et poar dénominateur un produit de facteurs de la forme \l — X. Ces derniers facteurs sont tous différents de zéro, et leur module croît indéfiniment quand [a, augmente. On pourra <ionc déterminer une limite inférieure / de leurs modules.

(>ela posé, la série (i5) satisfait à Téquation (i4); niais il faiil prouver qu'elle a un rayon de convergence certaine. Or uQ accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant,

il une part, les coefficients Oa^ par les quantités -^> limites

supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais là nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que ion trouverait en cherchant à développer la racine inOniuient petite de Téquation algébrique

cl converge pour des valeurs de a; suffisamment petites.

I. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la série que nous venons de déterminer, et s'annulanl cgalemeol pour j? = o, posons

, y — Cl X -\- C\X -+- . . . -♦- z^

z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans l'équation différentielle et supprimant les termes indépendants de 2, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation transformée

(lOj X -j^ — c(X-i- 610^4- ^01^-+- ^.0^' + - • •).

Nous avons à chercher une solution z de cette équation, J. — Cours, III. 8

Il4 TttOISlfelIE PAKTIB. — CHAPITHE I.

qai ne soit pas constamment nulle aux environs du point a: = o, mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro suivant une loi convenable.

Soient donc

ar© un point voisin de l'origine ; z^\o la valeur correspondante de z\

L une ligne allant de x^ à Torigine, et telle que z tende vers zéro quand x décrit cette ligne.

L'équation (i6) pourra s'écrire

5(X -h ^01^ 4- ^02^'-+-- • •) ^ ~~ ^-^ bQiZ-^ bo^z^-h. . ,

ou, en supposant que \ ne soit pas nul et développant en série le dénominateur de dzj

dz dx , . , feio-4- 6,(,;r -*-. . .

: — (Co4-Ci5 H-...)û?3-h -i^ T^ dx

et, en intégrant de jTq à ^ le long de la ligne L,

I , c . X log.log —

Si X tend vers zéro, z tendant également vers zéro, les intégrales du second membre tendront vers des limites finies et déterminées. Le second membre sera donc de la forme A -i- e, A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par suite

d^oii, en passant des logarithmes au:c nombres,

JL — io. ^X(A+e) lim -i — :ï1 e> a — c

C désignant une quantité finie et différente de zéro.

fiQCÀTIORS DIFFÉRinriEIXES ORDINAIRES. 1 15

Pour que z tende vers zéro, il est donc nécessaire que x^ tende vers zéro en même temps que x. Discutons cette condition.

Soient

l=p -^ çiy j: = p(cos6 -H isinO),

on aura

Quand x tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son argument 0 pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant ia nature de la ligne suivie L. Pour que x^ tende vers zéro, il faut et il suffit que p Logp — y 6 tende vers — oo .

Soit d'abord q = o. Celte condition sera toujours satisfaite, quelle que soit la ligne L, si p est positif; mais elle ne pourra jamais Fétre si p est négatif. Dans ce dernier cas, il n'existera donc aucune intégrale de Tespèce cherchée.

Si q n*est pas nul, on pourra toujours déterminer 0 en (onction de p, de telle sorte que la condition

Jim (/? Logp — 70)= — 00

soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de distinguer le cas o\i p est positif de celui où il est négatif.

Si />>> o, la condition précédente sera satisfaite toutes les fois que 0 sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour que x^ ne tendît pas vers zéro avec x^ il faudrait donc que la ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolutions autour de Forigine.

Si /? <C o, le contraire aura lieu et x^ ne pourra tendre vers zéro avec x que si L est une semblable spirale.

96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de Téquation (16), développable en une série à double entrée suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que ces deux quantités seront suffisamment petites.

il6 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE I.

Posons en effet

Inéquation (i6) deviendra

Substituons pour u une série à double entrée

= > Cmv^»*'^^'' ( [A, V z= O, I , . . . , 00 ).

Égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, il viendra

F|iv étant un polynôme à coefficients positifs, formé avec ceux des b et des c où la somme des indices est moindre que

Celle de ces équations qui donnerait Cqo est identique; ce coefficient reste donc indéterminé, et l'on pourra lui assigner la valeur donnée c,

La résolution des autres équations donnera

cp^.v étant un polynôme dont chaque terme est un produit de facteurs 6, multiplié par une puissance de c et par un entier positif et divisé par un produit de facteurs de la forme s -h'ki^ s et t étant des entiers positifs, dont Tun peut être nul.

Le module des facteurs 5 H- X^ = 5 -f-/?/ -h iqt est différent de zéro et croît indéfiniment avec s oa t (Thypothcse q z= o, p <COy étant exclue par ce qui précède). On pourra donc trouver une limite inférieure m, telle que Ton ait

I 5-f- )./ I > m pour toute valeur de s et de t.

fiQCATIOlfS DIFPÉftBTf TULLES OIDINAIIES. 1 17

I^ série que nous venons de déterminer est une solution de Téquation différentielle (17) satisfaisant aux conditions posées, solution admissible tant que la série sera convergente. Or on diminue évidemment la convergence en remplaçant partout les facteurs 5 4- X^ par m, c par son module C

et les coefBcieuts 6ap par les quantités -^û> limites supérieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle série obtenue est celle que Ton trouverait en cherchant à développer suivant les puissances de x et de x^ celle des deux racines de l'équation

/?ii^ = mC -\- V

= /?iC -h Mi' I I —

qui se réduit à C pour x = o, x^ = o.

Mais celte racine est évidemment continue et monodrome tant que les modules de x et de x^ resteront au-dessous d'une certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satisfaite, V sera développable en série convergente suivant les pui:>sances de x et de x^j et la série qui donne u sera a fortiori convergente.

97. Supposons maintenant \ entier et positif. S'il est >• 1 , posons

y — > X —\~ xs»

L'équation transformée en Zj divisée par le facteur commun x^ prendra la forme

dz x-j- = (X — i)z -h bioX-h 6,0^' -4- ôiia:-3 -4-. . .

et sera semblable à la primitive, le premier coefficient X étant diminué d'une unité.

Par une série de transformations analogues nous pourrons

Il8 TROISIËSE PARTIE. — CHAPITRE I.

réduire ce coeifîcient à l'unité. Reste donc à considérer l'équation

('8) a?^— j-h«to^ = aîo^*-^«ii^r +

Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une série procédant suivant les puissances entières de j? et ^ logar et contenant une constante arbitraire.

Désignons à cet effet par Â|o» • • . , A^^, ... les modales des coefticients aïo, • • •! ^a^) • • •; P^^* ^ une quantité positive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord^ au lieu de l'équation proposée, la suivante :

D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme intégrale une série procédant suivant les puissances de x et de x^ et contenant une constante arbitraire.

Posons

Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle forme de cette intégrale, une série procédant suivant les puissances de x et de t, et qui sera encore convergente quand ces variables seront assez petites. Pour calculer directement les coefficients de cette nouvelle série, nous remarquerons qu'on a

d'où

dt \a;^ — X .

X ' . ' — ,. — A € ~"~ Xt

dx I — A

Posons maintenant (20) 7 = Cio^H-Coi^-|-...H-CjAV'2?**^^-H.. .=^/ C^v^^^^;

fiQCATIONS DIPPÉtniTIILLIS OKDUIliaBS. 1 19

on aara

dv Substituons ces valeurs de ^ tlx -p- dans l'équation proposée et égalons les coeflicients des mêmes puissances de x et de / dans les deux membres. Les termes en t se détruisent identiquement; ceux en ordonneront

(l — X)Cio — Cot-HAio^::=0.

Enfin on aura généralement, lorsque [jl + v >> i , (ai) ( ji. -+- Xv — X)C,4v— (v -f- i)C|i-.t.v-hi = ?|iv,

«Pplv étant le coefficient du terme en x^C dans le second membre de Féquation. D'ailleurs on voit sans peine que cpi^y est une somme de termes de la forme

où K est un coefficient binomial et où les indices a, ^, |jL|^ V|, ... satisfont aux relations

V| H-. . .-h VqZziv.

Ces équations permettent de déterminer de proche en proche tous les coefficients Cf&v en fonction de Cio» qui reste arbitraire.

Ce premier coefficient étant supposé réel et positif, la résolution des équations précédentes donnera pour C^lv une expression de la forme

T'fLv étant une somme de termes positifs dont chacun est le produit : i^ d'une puissance de CiO) 2" d'une puissance de Coi=A|o-i- (i — ^)Cio, 3° d'un produit de coefficients Aap,

lao TROISlIUE PARTIE. — CHAPITRE 1.

4® d*un facteur numérique indépendant de X; le tout divise par un produit de facteurs de la forme

On remarquera d^ailleurs que le nombre de ces facteurs, qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut surpasser 2 ijl + v — i .

Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous ceux des coefficients dont le premier indice est << |jl et pour tous ceux dont le premier indice est égal à |ji et le second indice <C!v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs valeurs dans Téquation (ai), elle donnera pour C|j.v une somme de termes dont le premier contiendra en dénominateurs un nombre de fadeurs au plus égal à

J-f-2(;x — i)-4- v-i-i — in:2|x4-v — I.

Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en dénominateur sera au plus égal à

I -h 2|X| -h V, — I -h. . .-h 2[JLû-h Vû— 1 = 1 -I- 2(|JL — a) -I- V — 3

D^ailleurs la proposition se vérifie immédiatement pour C02; donc elle est vraie généralement.

Cela posé, faisons tendre X vers l'unité.

L'expression / = r- aura pour limite celle-ci

laquelle satisfait à l'équation

dt'

L'équation (19) sera changée eu

CQUÂTI05S DIFFÉUDITIBLLB8 ORDDIAIIES. 121

et, SI Ton cherche à satisfaire à celte derDÎère par une série de la forme

(22) 7— C|oJ:-*-C;.^'H-...-hC;v^r'^/'^-H...,

les nouveaux coedicients U seront évidemment donnes p.-^r les mêmes formules que les C, sauf le remplacement de \ par Funité.

Pour montrer la convergence de cette nouvelle série, comparons un terme quelconque T' de Cj^^ ^^^ terme correspondaot T de Cjiv Les facteurs A|o-l-(i — )^)Cioï qui figuraient au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre Aio. Quant aux facteurs [x+Xv — X du dénominateur, ils sont remplacés par des facteurs (x -h v — i, qui leur seront au moins égaux si v n'est pas nul. D'autre part, si v est nul, auquel cas \»-%^, on aura

Le nombre total des facteurs du dénominateur étant

on aura donc

et, par suite,

I|<(2-X)*fi^v)

Cela posé, soit r le rajon d'un cercle dans lequel la série (qo) est convergente : on aura, en désignant par M une constante,

et, par suite,

La série (32) sera donc convergente dans un cercle de rayon (2— X)-2r.

laa TlOISifeMB PARTIE. — GBAPITIB I.

Revenons enfin à Tëqualion primitive (i8) et cherchons à }' satisfaire par une série

y ' — Cq j se -\- ^Q j ' ~T~ ... ~\~ c« V *^ * "^~ • • • »

Coi ëtant une quantité arbitraire ayant pour module Coi. Il est clair que les coefficients c|iv seront déterminés par les mêmes formules que les coefficients CJtv, sauf le remplacement des quantités

^10» A|o, ...» A(xp, ...

par

et que les coefficients cj^v auront les GJj^v pour limites supérieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc convergente pour des valeurs assez petites de x et de <'.

98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique irréductible

entre j^ et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci.

Une intégrale y de cette équation sera complètement

définie si Ton donne pour la valeur initiale jto de la variable

indépendante a: : i® la valeur initiale j'o de y^ laquelle peut

être prise arbitrairement; 2^ la valeur initiale de -^y laquelle

devra être choisie parmi les n racines de Féquation

Si Ton fait décrire à x une ligne continue quelconque, y el --^ varieront également d'une manière continue tant

que X ne passera par aucun point critique.

Soit \ Tune de ces valeurs critiques. Nous avons vu que lorsque x tend vers \ trois cas pourront se présenter :

i^ y ne tend vers aucune limite;

ftQUATIONS DIFPtftBNTIiaXBS 01DINÀIRB8. ia3

2^ y tend vers une valeur finie r^ pour laquelle réquation

dy admette une racine multiple ou infinie, et -r- tend vers cette

racine.

3** y tend vers oo.

La première de ces hypothèses doit être rejetée. On pourrail, en effet, assigner à x une valeur \ plus voisine de \ qu'une quantité arbitraire e et telle : i® que la valeur correspondante de y eût son module au plus égal à une quantité Gxe A; 2^ que la distance du point t{ à chacun des points 7|

pour lesquels réquation/= o donne pour -^ une racine multiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe 8.

Soit r une quantité positive moindre que ô.

Pour toute valeur 7/ de y qui satisfait à ces conditions, les m racines de Téquation /= o seront développables en série convergente suivant les puissances de^ — r{ dans l'intérieur d'un cercle de rayon r décrit autour de V et sur sa circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc surpasser un maximum fini M.

Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de déterminer la variation de y au delà du point $', a un rayon de convergence certaine, qui peut être assigné en fonction des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit e qui représente la distance des points \ et \, Ce dernier point ne peut donc être critique, comme nous l'avions supposé.

Nous connaissons donc a priori les valeurs de y^ finies ou infinies, qui correspondent aux points critiques.

99. Soit 71 l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous savons qu'en faisant tendre y vers 7^ suivant une ligne con-

>a4 TlOISifclE PARTIE. — CHAPITIE 1.

venable, nous pourrons faire en sorte que -j-> ou son

dx inverse -y- lende vers Tune quelconque des n valeurs fournies par l'équation

Chacune de ces racines peut être développée aux environs du point 'f\ suivant les puissances croissantes, entières ou fractionnaires de^ — i^.

Soit

(23) =A(j-Yî)''4-B(y-7i)r + ...

l'un de ces développements; /?, a, p, • . . étant des entiers sans diviseur commun.

Si /? H- a^o, l'intégrale du second membre, prise Ae y àr,, aura une valeur infinie ;j^ ne pourra donc atteindre la valeur */;

avec cette détermination de -j- ) pour aucune valeur finie

de X.

Si y? H- a >o, l'intégration donnera, en désignant par ; la valeur finale de x^

d\ ^^ oB —

et 5 pourra être un point critique de l'intégrale j^.

Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances

croissantes de x — 5, celles des valeurs de (y — r^y qui s'annulent avec x — Ç. Ces développements seront de la forme

où u représente successivement les diverses valeurs uu radical (x — Ç)*^*.

ÊQCATIOXS piFF£lE!<TIELLBS ORDINAIIIBS. laS

On en déduit

r — T, m (c, « H- c, «• -h . . . y = c), m'* H- c'p^^ uP-^^ -+-

On voil par là que le point \ est en général un point criliqoe algébrique pour Tintégrale y. Ce sera un point ordinaire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination

de -7- que nous avons adoptée, si le développement de^ ne

contient que des puissances de u multiples de /> + a.

Ce cas se présentera si /? -|- a = i . Cette condition est d'ailleurs nécessaire. Supposons en eflet qu^on obtienne^ pour >' — T,, un développement suivant les puissances entières et positives de j: — $, tel que

On en déduira, en renversant la série,

(Comparant avec le développement (24), on voit qu'on doit avoir

;i, V, . . . étant des entiers. Mais/?,/? -+- a,/> -h P, ... n'ayant pas de facteur commun, on aura [x = 1 , d'où/? -f- a = i . Considérons maintenant une valeur infinie de y. Posant

y = 7» nous obtiendrons une équation transformée

el nous développerons les diverses valeurs de -^^ suivant les puissances croissantes de z. Soit

(25) ~=rA;:P-hB.3'' + ...,

un de ces développements. Intégrons-le de 5 à zéro. Si /'-f-a^Oj l'intégrale du second membre sera infinie. Doncw

ia6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination de la dérivée, pour aucune valeur finie de x,

Si/?4-3t>o, on aura, en appelant \ la valeur de jc pour -5 =:: o,

d'où, en posant (a: — Ç)''"^* = «,

z = c'^ uP -+- Cp+1 uP-^^ -h . . .

et enfin

Donc Ç sera, en général^ un point critique algébrique pour la fonction y, lorsqu'on y arrive avec la détermination de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle, si/? -h a = I.

Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction y se comporte aux environs de chaque point critique; mais la position de ces points critiques reste encore inconnue.

100. Considérons, en particulier, le cas où y est une fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est caractérisé parla condition que, dans chacun des développements précédents, /? 4- a est nul ou négatif ou égal à l'unité.

Si celte condition est remplie, y^ n'avant que des pôles, sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'on peut la déterminer par des opérations purement algébriques.

En effet, -y- étant une fonction algébrique àe y^ x consiay

déré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et

aura, pour chaque valeur Y de y^ n systèmes de valeurs

X| -h 2mw -h am'io'-h. . .,

où m, m\ • . • sont des entiers et 2(o, 2(o', . , . des constantes

ÊQUâTIOKS DIFPÊ1INT1ILLB8 OBDIMAIBBS. 137

lioéairement distinctes, chacun de ces systèmes de valeurs

dx correspondant d^ailleurs à une des n déterminations de --7-

pour Y = Y-

L'intégrale j^, considérée comme fonction de x, admettra donc les périodes 20), 20)', ..., et, comme une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéairement distinctes, trois cas pourront se présenter.

101- Pkvuizk CAS : Il existe deux périodes distinctes, aw et ifù\ — L'intégrale y sera une fonction méromorphe et doublement périodique d'ordre n,

A chaque valeur de y^ finie ou infinie, et à chacune des

dx déterminations de --7- correspondront des valeurs finies dex,

une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des développements (23) et (25),/>4- a soit égal à 1; car, s'il était nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune valeur finie pour j;.

Cela posé, soit p{u^ ^29 ^3) 1^ fonction elliptique de Weierstrass qui admet les deux périodes 2(0 et 2a>'. I^ fonction p{x — Xq» g2i gz) elliptique du second ordre, sera liée à y par une équation algébrique

uu second degré en^ et de degré n en p[x — ^0» g2^ gz)- H reste à déterminer : !*• les coefficients A, B, ... du poljnôme F; 2" les invariants g^^ gz» On y parviendra en développant le premier membre suivant les puissances croissantes de X — Xo et identifiant le résultat à zéro. On a, en effet,

P(^ - ^., fft. «"',) = (^TT^ + i^ ^« (^ - ^•)'

-^ -^ gti^ — ^oY + —

128 TROISIKXB PARTIE. — CHAPITRE I.

D'autre pari, l'équation

donne, par difTérentlation, les dérivées successives de y exprimées au moyen dey et -—• Or, pour x = j?o> ^^ connaît la valeur yo ^^ Y ^t l'on a précisé, en outre, celle des racines de l'équation ci-dessus que l'on choisit comme valeur

, , , dv

initiale de -r-* On peut donc déterminer, pour x = Xo, la

valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, développer y suivant la série de Taylor.

Les équations, fournies par cette identification à zéro, sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à g2j g^.

102. Deuxième CAS : 1 1 n' ex is te g u^ une seule période ^lo. — Ceux des développements (aS) dans lesquels /? -|- a >> o donneront chacun une série de pôles de la fonction y, ayant pour formule générale a^o + amco {xq restant à déterminer). Aux environs de chacun d'eux, on aura pour j^ un dévelopl^ement de la forme

cip rti

y — ~ rr, ~i~ • • • ~H ■ *^~ ^0 ~»~ • • • »

•^ (X — x^ — 2mu))P X — Xq — 2rno)

où p et les coefficients ap^ . . ,, «o, . . . sont donnés par l'analyse précédente et ne dépendent pas de m. Cela posé, l'expression

admet la période 2 to. Elle a pour pôles les points ^r© -f- 2 /?2 to, les résidus correspondants se réduisant à l'unité.

Sa dérivée d'ordre k admettra les mêmes pôles et sera, aux

ÉQUATIONS DIFFÊRBNTULLBS OlDIlfAlftES. 1^9

eu virons du pôle jtq + smo), de la forme

; rrrî "+* "i

(x — Xo — 2/nw)*"^*

R ne deyenani plus infini.

On aura donc

du (-!)''"• fiP'^ii ,

le reste^ admettant la période a> et les pôles de^, sauf ceux de la série x© -H ^mco. On trouvera de même

S désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec

e"* et j'^ une autre fonction périodique où une seconde série de pôles a disparu. Continuant ainsi, on pourra mettre y» sous la forme

ni.r

T étant une fraction rationnelle en e *^ et Y une fonction périodique qui n'a plus de points critiques à distance finie, el qui, par suite, sera développable par la formule de Fourier ea une série procédant suivant les puissances positives et

iié«;atives de e " . Or M. Picard a démontré que, si cette série contenait un nombre infini de termes, l'équation précédente donnerait en général, pour chaque valeur de y^ une in-

fini té de valeurs de e " . Mais à chaque valeur de y correspondent n séries de valeurs de x; et, comme les diverses

TCl»*

valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e *^ , celle quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de y. Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration-

ÎC/X

TZiJr

nelle en e *** ; on aura donc

Pet Q étant deux polynômes entiers en e " , l'un de degré /i, Tautre de degré ^/i.

i. — Cours, III. g

l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Les coefficients de ces deux polynômes se détermineront comme dans le cas précédent.

Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second cas. En effet, pour chaque valeur de^, Téquation (26) donne

en général, pour e " , /z valeurs finies et différentes de zéro : d'où résultent pour x, n classes de valeurs j:o+ 2^<i>9 • • . . x„i 4- 2mo), Xq, . . . , x„i étant des quantités finies.

Il y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou

/iirur

infinies) de y qui annulent le coefficient de e *** ou le terme

indépendant de e^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles ne correspond aucune valeur finie de x.

Soit, par exemple, yt la valeur de y qui annule une ou • plusieurs racines de Téquation. Soit g le nombre de ces racines. Aux environs du point j^i on pourra les développer en séries de la forme

iri>

Od en déduit

^-iogLpi(v-7,y^+P.(j--ri)^+...]

^^log(r — 7i)-f-log[p,4-p,(7-7,)^-h...J

d'où, en prenant la dérivée par rapport à 7,

(27) -j- — —. H--^(7 — vi) '/-^....

Soit de même y^ la valeur de y qui donne des racines infinies, en nombre q'. On pourra développer leurs inverses en séries de la forme

'jzir l 2

fiQCÀT105S DIFFÉftBITlBLLIS OlDClÂllIS. l3l

d'où Ton déduit

Si les racines nulles ou infinies correspondaient à une valeur infinie de y^ ces développements suivant les puissances de ^ — y^ ou de y — y2 devraient être remplacés par des

développements analogues suivant les puissances de - = 2.

Les deux développements précédents doivent évidemment faire partie de la série des développements (23) et ('25). Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent par un terme de degré — i et pour lesquels p -\- 7. sera nul, celte quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent donner pour x des valeurs finies.

L'identification de ces deux développements avec (27) et (28) fera d'ailleurs connaître la période o), et les entiers q^ q\

103. Troisième cas : Il i\!y a aucune période, — Dans ce cas X ajant n valeurs seulement pour chaque valeur dc^^, et n'ayant que des points critiques algébriques, sera une fonction algébrique de y. Réciproquement, y sera algébriqu«r en X et, comme il est uniforme, il sera rationnel. On aura donc

P et Q étant des polynômes entiers en x^ Tun de degré /?, l'autre de degré ^/i, dont on pourra déterminer les coefficients comme précédemment.

Pour chaque valeur de j^, on aura n valeurs de x, généralement finies. 11 n'j aura d'exception que pour la valeur (finie uu infinie) de j^ qui annule le coefficient de jr", et à laquelle correspondra une racine, ou un groupe de q racines, infinies. Les inverses de ces racines pourront être développées en séries de la forme

i3a noisiÈiB paktib. — chapitkb i.

d'où

Donc l'un des développements(23) [ou des développemenis (25) si la valeur de y qui rend x infini esl elle-même infinie]

commencera par un terme d'exposant — • On aura donc

pour ce développement/? 4- a = — i, et pour tous les autres /?-+- a= I.

Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître dans quel cas on se trouve, sans quMl soit besoin de tâtonnement.

lOi. Comme application des résultats qui précèdent, cherchons, parmi les équations binômes de la forme

n, X|,X2, ... étant des entiers sans diviseur commun, celles dont rinlégrale est monodrome.

Les points critiques de

dx -' -^ --•

sont «,, «2, .... Pour l'un d'entre eux «i, on aura comme

développement

dx --

D'autre part, si l'on posejK= -> on aura l'équation iransformée

i^(â)"=Ki-) a-}

IQUÀTIOIIS DIFPÉRBRTIBLLBS OKDDfÀlRBS. l33

d'oà Si donc nous posons, pour abréger,

t \ Aj Aj -J- Aj -T" • • •

il sera nécessaire et suffisant que |jl, (Ai, |As, . . . soient de la

forme ^ > i ou — Ces quantités satisfont d'ailleurs à

la relation

(29) JI.-I- |i,-4-|j4-4-. . .= 2.

Peexibr cas : U intégrale est doublement périodique. — Dans ce cas, (a, |a,, jxj, . . . seront tous de la forme ^ »

et, par suite, au moins égaux à *» sauf ^, qui peut être nul.

Supposons d'abord [jl = o. II résulte de Téquation (29) que le nombre des quantités [A|, |A2) ..., qui sont toutes f ^, mais <^ I, sera 4 on 3.

S^il y en a quatre, on aura nécessairement

ai=m=l^=t*4==i» d'où >,==X,= Xj=Xi=i, n — 2. S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29), pour i^ M 1^3) {As ) leurs valeurs

urs

Pt Pt

Pi — Pi

Les quantités PifP2^ p% étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on en déduira

— ri, d'où P\=^^ ou a.

Si /7| = 3, on devra avoir

l34 TEOISlftME PâSTIB. — GHAPITRB I.

Si /?! = 2, il viendra

Pt Pt a

d'où

Si />2 = 4t on aura aussi

Si /?2= 3, on aura

ce qui donne les deux solutions

Xi=r2, X,~I, Xj-rl, /lr~.î,

X|i=3, Xj=^ 4> Xj=-5, /i 6.

Les solutions où [x n*est pas nul se déduisent évidemment des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient ainsi les nouvelles solutions

X,=zX,= Xsrzil, n^=z^,

Xjii^Xjnia, 11-=^ Zy

Xjnzl, X,r=:l, /£^4, Xi=i3, X,= 4, /irziô,

X|=:4, X,= 5, /i~6, X|=3, Xj=5, /i ir= 6.

Deuxiemb cas : L'intégrale est simplement périodique» — L'un au moins des nombres pi, pL|, [X2, . . • sera égal à i. Soit d'abord [x = o, pt^ = i. L'équation (29) deviendra

«QUàTIORS DirPfiftBKTiBLLBS ORDINAIRES. l35

les quantités [x^, {x,, ... étant égales à i ou de la forme

Oq voit par cette équation que le nombre des quantités

Uj, [13, ... ne peut surpasser deux.

Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura nécessairement

d'où

Xi=2, Xj=X3=:iI, « z= 2.

S'il n^existe qu'une seule quantité [A3, on aura d'où

Les solutions où [x n'est pas nul s'obtiendront encore par la suppression d'un facteur et seront les suivantes :

Xi A,— 1,

Troisième cas : L'intégrale est rationnelle. — Une des quantités [x, [Xi, ... sera de la forme > et les autres de

la forme

1 a = o et tX| = ~ j fX2 = 9 • • • » " viendra

^ ^ g ^ Pi

Pi ç

On aura donc

jt,=:... = o et Pi-=gi

d'où

X, = ^-hi, X,= <7 — I, n = q,

l'entier q restant arbitraire.

l36 TROISI&MK PARTIE. — CHAPITRE I. — ÉQUATIONS, ETC.

Enfin, si [jl n'est pas nui, on aura les solutions

105. Les considérations développées dans celte Seclîon permettent de définir, d'une manière plus précise, les diverses sortes d'intégrales que peut présenter une équatiou diflférentielle

Soit X(i une valeur particulière de la variable indépendante. A toute valeur initiale y^ donnée à y^ et telle que (^o»^o)soit un point ordinaire pour la fonction/, correspond, comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation difierentielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières. Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point x^^ et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la constante j^o? îl peut en exister d'autres, qui deviennent infinies ou indéterminées pour x = Xq^ ou prennent en ce point une valeur ^0? telle que {xq^ y^) soit un point critique pour la fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rapport au point Xq,

Cela posé, nous appellerons intégrale générale l'ensemble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour quelque valeur de x; intégrales singulières celles qui seraient singulières par rapport à toute valeur de x.

Il est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera un phénomène exceptionnel. Soit en effet F(x,j') = o la relation qui doit exister entre x ety pour que /présente un point critique eu Xyy; il faudra, pour qu'il y ait une intégrale singulière, que la valeur de^-- en fonction de x^ tirée de l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle proposée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement.

ÉQCATI05S URÊJUMS. 187