I. — Généralités

106. On nomme équations différentielles linéaires celles où les fondions inconnues et leurs dérivées ne figurent qu'au premier degré.

Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous allons exposer.

107. I** Toute équation linéaire reste linéaire si Con change la variable indépendante.

Soit, en efiet,

rf* ûc d^ — ^ X

une semblable équation, p^y p^, . . ., T désignant des fonctions connues de la variable indépendante /. Posons t = (f{u)j u désignant une nouvelle variable. On

en déduira

dx dx ,, ^

Tu =Ttf^"^'

(fx cPa; dx ,, .

di? = -dF'f^"^-^-dlf^''^'

dx d^ X équations qui donnent -^> 'znï* '" ^^ fonction linéaire

de -7-> -,— r> Substituant ces valeurs, ainsi que celle

du du} ^

de^, dans Téquation proposée, on obtiendra Téquation trans-

djc d* oc formée, qui sera évidemment linéaire en x^ -%— j -i— j-» — -

108. 2® Soient x^ y^ ... n fonctions d'une même variable indépendante t, satisfaisant à un système de n équations linéaires

(l) E, nro, ..., Ert=0,

et soit V un polynôme entier par rapport à x^y, ... et n leurs déris?ées successives, dont les dii^ers termes aient pour coefficients des fonctions quelconques de t, La fonction V satisfera à une équation linéaire dont les coefficients s'expriment rationnellement en fonction des coefficients ûfe E|, ••.,£„, y et de leurs dérivées successives.

En effet, soient respectivement m, m', ... les ordres des plus hautes dérivées de x, y^ ... qui figurent dans les équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dérivées successives de V. Chacune d'elles sera un polynôme de degré k par rapport k x^y, . . . et à leurs dérivées suc-

d"^ X d^"^^ X ^ d"^' y cessives. D'ailleurs les dérivées -^pjr^ . „^^^ > •••> •^tt;^»

—-^y ... peuvent s'exprimer linéairement par les déri-

vées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui

s'en déduisent par dérivation.

dV Substituant ces valeurs, on aura pour V, -^> •••> tics

expressions de la forme

Y =zT,P,-4-TjP, +...,

T|, Ta, . . . , T,, Tj, • . . étant des fondions de ^, de l'espèce

tOUATIONS LINtAlHS. iSg

iodiqnée à Fénoncé, et P|, Pa» • • • des produits de la forme

\dt) "V £//"•-> y ^\dt) "\ dt^'-^ )

où le nombre total des facteurs est au plus égal à A:. Soient P, , P}, ...y P/ les divers produits de ce genre que Ton peut former et dont le nombre est évidemment limité. L'éliminalion de ces quantités entre les expressions (2) donne une

^1 .• V ji • . ^r dV d^\

relation linéaire entre V, -j-» •••> — j-r* *

at al'

109. 3^ On sait que tout sj^stème d'équations dilTérentielles simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, à un système normal. Si les équations sont linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister le caractère linéaire.

L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc à celle d'un système linéaire normal de la forme

-7- -\-ax -{- by H-... — T, dy t Ti

où a, 6, . . . j a, , 6| , . . . , T, T, , ... sont des fonctions de t. Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sans second membre, où l'on a

T m: Ti = . . . ^=: O.

Ho. Théoeème. — Sixx^y^j ...; x^^y^t •••'» ••• ^^'^^ rfw solutions particulières d'un système d'équations li-néair-es sans second membre, les expressions

oùCi, Ca, ... sont des constantes arbitraires, satisferont ^u même système d'équations.

1^0 TROISlkHX PARTIE. — CHAPITBB II.

En effet, le résultat de la substitution de ces expressions dans le premier membre de Tune quelconque des équations proposées sera évidemment de la forme

Cl Hj -H C| Hj -t- . . . ,

H| désignant le résultat de la substitution de Xi^yty • • •; H2 le résultat de la substitution de a^t^ya^ •••• Mais X|, r I Y . . . ; X2, ^21 • • • ; • • • étant des solutions, on aura

IIj = 0, Hj=:0, ...y

GiIIi -+- C|Hs -H . . ,~— o.

111. Considérons spécialement un système canonique formé de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre. Ce système admet la solution évidente x = o, ^ =r o, ...; mais il admet une infinité d^autres solutions particulières.

Nous dirons que k solutions particulières d^un semblable système, telles que

"^ii y if ^i* • • • »

^ki Xky ^ki

sont indépendantes y si l'un au moins des déterminants d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau cidessus n'est pas identiquement nul.

Théorème. — Si l'on connaît k solutions indépendantes d^un système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre (k étant -< n), on pourra ramener f intégration du système proposé à celle d'un système analogue ne contenant plus que n — k équations et à des quadratures.

Chaque solution de ce nouveau système fournira une solution du système primitif, indépendante de celles qui sont déjà connues.

fiQUATIORS LINÉAIRU. l4l

Nous admettrons, pour Gxer les idées, qu*on ait quatre

équations

■-T--4-ax -+- 6/ -HC5 H- é/a =o, ~ -\- a^x -h b^y -H c, 5 -f- a, M - o,

^ -*- a, j: -h 6,j -H c, 3 -t- r/, a in o,

et que Ton connaisse deux solutions indépendantes

^ï» J'î» ^î> "î* Admettons qu'on ait, par exemple,

^1 Ji ^1 Ji

On pourra poser

M =1 C, M, -h Cj a, -h u,

Gh C2, !^, 0 étant de nouvelles variables. EfTectuant la substitution et remarquant que les termes en Ci, Ca s'annulent (car les équations proposées seraient satisfaites si !^, u étaient nuls et G|, C2 constants), il viendra

dC,

dC, 1Û^'

dt rfC,

lf\7,

TROISIÈMK PART». — GHilPlTRS II.

KésolvaDt par rapport aux dérivées —1-7 --tj-^ -ry -^^ » on aura un résultat de la forme

dC, dt