AÇ +B
zt =^^--^«.''.
-^ -tAjÎh-Bju.
On obtiendra donc tj et u en intégrant les deux équations linéaires simultanées (5); C| et C2 s'obtiendront ensuite par des quadratures.
Soient d'ailleurs î^', u' une solution particulière quelconque des équations (5) (autre que la solution évidente Ç= o, u = o); et supposons, pour fixer les' idées, que Ç' ne soit pas nul. Soient C, , G'^, les valeurs correspondantes de Ci, C2. La solution
/.^G'iji + c;/,,
-«8 ^^ G, ^1 -f- Gj 5j -h Ç ,
sera indépendante des deux solutions déjj^ connues j:,, ^,, 2i, W|, ; ^2)^2> -22> ^2? car le déterminant
est différent de zéro.
112. Théorème. — Tout système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre admet n solutions particulières indépendantes ^<, jKi, ... ; . . .;
tQUATIOllS LINtUlllS. l43
^«1 Xm^ " • et sa solution la plus générale est la sauvante
oà C| Cn sont des constantes arbitraires.
La première partie de cette proposition résulte de ce que nous venons d'établir, que de l'existence de k solutions indépendantes (k étant <^n) résulte celle d'une nouvelle solulion indépendante des précédentes.
Pour démontrer le second point, posons
Cf, . . ., Cn désignant de nouvelles variables. Effectuant la substitution et remarquant, comme au numéro précédent, que les termes en C|, . . . , Cn s'annulent, il viendra
dCi dCn
dCi dCj„
Mais le déterminant des quantités ^f, ri, . . .; . . .; Xn^ Vff, ... est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant indépendantes ; donc
dCi dCfi
— — - =z o, .... — j— --— o dt ' ' dt
etC|, . . . , C/i seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. 113. Soient
Çj T= G', ^j -h . . . -+- c^ a7rt, T^i = Gj 7, -f- . . . -H c;, /rt, . . . ,
;„ = Cî X, 4- . . . -h C; Xay T^n = C^/i -h . . . H- C^'/^,
n solutions particulières quelconques du système proposé. Leur déterminant est évidemment égal au produit du déterminant des solutions j^i, y^t • - .; • • • ; J^/i» Ynt • • • par le déterminant des constantes C'^, . . . , C". La condition néces-
l44 TROISlftHB PARTIS. — CHAnTtB H.
saire et suffisante pour que ces solutions soient indépendantes est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro.
114. Les coefficients des équations difliérentielles proposées peuvent aisément s'exprimer au moyen d'un système quelconque de n solutions indépendantes, telles que ^i,
^ 1 > • • • î Ç« ) ''i // » • • • • Soit, en efi'et,
--TT H- a J? -h 6/ -f- . . . 1= o une de ces équations; on aura identiquement
-^ -h aÇi -f- 6tij -4- . . . = o,
et de ce système d'équations on déduira a, 6, ... exprimés par des quotients de déterminants.
115. A tout système adéquations linéaires sans second membre, tel que
dx -
-z- -{-ax -h of -f-C5 r= o,
dy ,
^ -f- a^x -j- 6,7 -+- c, :î = o, est associé un système adjoint défini par les équations
-haX-4- a, Y -f rt,Z — o,
^ -h 6X-I- 6|Y -Y- biZ --0,
^ -h cX -î- C| Y 4- c,Z — o.
EQUATIONS UNÉÀIISS. l4^
Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une liaUon remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons les équations précédentes, respectivement multipliées parX, Y, Z, — ar, — Vj — z. Il viendra, toute réduction laite,
.^ cLv dX -. dy d\ „dz d7j
UOIJ
\x -h Y/ H- Z5 = const.
La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidemment réciproque. L'intégration complète de Tun d'eux entraînera celle de l'autre. Supposons, en effet, que l'on connaisse trois solutions indépendantes x^^ y^^ 2i ; jr^j^'a, ^2» jj, j^5, Zj du premier système. La solution générale X, Y, Z du système adjoint sera donnée par les relations
Xx,+Yj,H-Z^,r^Ci, Xo-j-hYjj+ZZj^rzG,,
Xjjj + Y/j-i- Z-2, — Cb,
C4, C2, C3 étant des constantes arbitraires.
Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions indépendantes du premier système, on aurait seulement une relation linéaire
Xj:,-hY7, + Z^i-C,
ou deux relations
X^j4-Y7,+ Z^,=:Gj,
Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des variables X, Y, Z des équations différentielles du système adjoint, et de ramener ainsi l'intégralion de ce dernier système à celle d'un système plus simple, contenant une ou deux équations de moins.
J. — Cours, III. 10
l46 TROISiftMB PARTIE. — CHAPITRE II.
116. Systèmes adéquations linéaires à seconds mem^ bres, — Soit à intégrer un système (Inéquations linéaires ;ji seconds membres, tel que le suivant :
/ dx , ,
—, — \-ax-^by -\-cz -\- du =T,
dz
—T- -\- a^x-\- b^y H- CiZ-^-d^un^ Tj.
Considérons le sjslème linéaire analogue
, . , -j- -\-ax -h by -{- cz -\- du r.o.
obtenu en supprimant les seconds membres.
Nous avons vu (111) que, si Ton connaît deux solutions indépendantes de ce dernier système, on peut, par un changement de variables convenablement choisi, le ramener au système suivant :
Il est clair que le même changement de variables, appliqué au système (6), le ramènera à la forme
^=--a;+Bu+o, ^ ^a.ç + b.u + o,,
^ =A,Ç + B,<)-hO„ -^ =:A,!:+B,u + 0„
0, . . . , 0] étant des fonctions de t. On n'aura donc, pour déterminer Ç cl u, qu'à intégrer un système de deux équa-
ÊQCàTIO?(S U!<£A1RIS. I «7
.'Mos linéaires simultanées; Co C^ s*obtiendront ensuite par •ie «impies quadratures.
Si Ton avait obtenu Fintégrale générale du système (7)
Jr -. — C| Xi -i- Cj JTj -f- Cj JTs -h C; JT^ ,
U "-C1M1 -hCil/i-f-C,«j-+-C4W4,
linU'gralion du système (6) pourrait s'effectuer par de ^impies quadratures. Substituons, en effet, les valeurs préixlentes dans les équations de ce système, en considérant '-1. ..., C4 comme de nouvelles variables. Ces équations ie\lendront
rfC| dCjf dC^ fiCi.^
"57"^'"^ "sr"^'^ "^r-^»^ w^' -^ *'
rfC, rfCj rfCj dC
et donnent immédiatement les dérivées — r-^» •••> — ,— • On ïiira donc Ci, . . . , C4 par des quadratures.
117. On pourra même se dispenser de ces quadratures, si Un connaît une solution particulière Xo,^'o> -o^ ''0 du système (6). Posons, en effet,
Le résultat de la substitution de ^o^^oi ^oi '^o dans les premiers membres des équations (6) détruira les seconds membres, et il restera
-^ 4- aÇ 4- ^T) -h c î H- <iu = o,
On obtiendra donc la solution générale du système proposé en ajoutant la solution particulière Xq^ Vq, Zq^ Uq k la solution générale du système sans seconds membres.
l48 TROISifeME PARTIE. — CHAPITBB II.
On peut enfin remarquer que y si les seconds membres sonl de la forme
et si l'on connaît une solution particulière ^'q, y'^, • . . pour un système analogue où les seconds membres se réduisent respectivement à T', T^, . . . , une autre solution particulière ^"o^yoi • . . pour le cas où les seconds membres se réduiraient à T",T',, . . ., etc., on aura une solution particulière du système proposé, en posant
