Une équation linéaire d'ordre n

peut être remplacée par le système équivalent

dx ,

dx"-^

dt '

dx""-^ . ^

qui rentre comme cas particulier dans ceux que nous venons de discuter. Il convient, toutefois, d'effectuer Télude directe de cette équation; car elle fera paraître sous un nouveau jour quelques-uns des résultats déjà obtenus.

119. Considérons d'abord Téquation sans second membre d'^x d'-^x

Soient x«, . . . , :rA des solutions particulières de celle équation. Nous dirons que ces solutions sont indépendantes.

ÉQUATIONS LUfÉÀlUS.

si le délerminant

formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées n'est pas identiquement nul.

Toute équation linéaire d^ ordre n sans second membre admet un système de n solutions indépendantes x, , . . . , j*«, et sa solution générale est

C|, , Cl, étant des constantes arbitraires.

Pour établir ce théorème, nous supposerons quMl soit vrai pour les équations d'ordre n — i et nous montrerons qu'il est encore vrai pour Téquation (8) d'ordre n.

Soit X\ une solution de cette équation (autre que la solution évidente a: = o). Posons j: = Cx,, C désignant une nouvelle variable. On aura

djc 'ai

— Gx^^Cx\,

= Car, 4- iGx'^ + Cx\,

d'^x 'oF

— C'Xi-t-nC'»-»^:;

C'»-«a;;-+-...-f-Ca-;'.

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura l'équation transformée

l j7iC"H- nx\

Pi^i

npi x\ L*équation devant être satisfaite, par hypothèse, si l'on

TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE II.

suppose C constant, Téquation (9) ne contiendra aucun terme en C. Ce sera donc une équation linéaire d'ordre n — i par rapport à sa dérivée C. Elle admettra, par hypothèse, n — i solutions indépendantes ^2> •••?>'«? et sa solution générale

sera de la forme

Cl V2 -H . . . -f- C,,//,,

où Co, . . .) C/j sont des constantes arbitraires. Intégrant cette expression, il viendra

C^Ci + C

dt-^.,, \-C,

j Yn dt,

\ étant une quantité choisie à volonté, et C| une nouvelle constante arbitraire.

On en déduit

*3C — v^t3?| — Vil X \ ~T~ vjj «Z*j H— • . * — r~ vi/i «Z^/i j

en posant, pour abréger,

x^ — x^ I yidty

^n~^i I J'n dt.

Il reste à prouver que le déterminant

Xs

n'est pas identiquement nul.

Or ce déterminant est égal à

A ^\ f /î ^^ -+- 2 A y\ 4- ^i7i . . . A] yndt-hi x\ y\ 4- x^y\

^1/ yndi ^1 / y^dt

^\yn

ÉQDÀTIOXS LIlftAIIBS.