On peut remarquer que la condition
exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu^îl n'existe entre les fonctions a:,, . , . ^ Xn aucune relation linéaire à coefficients constants, telle que
En eflet, s'il existait une relation de ce genre, on obtiendrai t, en la différentiant,
et, en éliminant les paramètres a, , . . . , a/,, il viendrait
Réciproquement, si ce déterminant est nul, x^j X21 • - «^ Xfi seront n solutions particulières de l'équation linéaire d'ordre n — i
On aura donc, en désignant par Xi, • . ., X/y i des solutions indépendantes de cette équation, et par G',, . . . , C^,
1 ÉQUATIONS UXAUEIS. l53
'ies coostanles,
J7t ^=^ G', X| H-. . . 4- C],., Xfl-i,
JTg^ — Li| X| -H . . . 4- Ci„j \n^i>
Eliminant X|, • «m ^a-i entre ces équations, on en dé- ^ lira une relation linéaire entre X|, ...,x«.
123. Si Ton connaît k solutions indépendantes X|, . • . , x^ Jt I équation linéaire sans second membre
»n pourra ramener son intégration à celle d'une équation linéaire d'ordre n — Ar, suivie de k quadratures. Posons en effet
^esC désignant k nouvelles variables, liées entre elles par les A- — I relations
('0) y ci:r,-=o, y^c'ix'i^o, ..., y^'c^f «=0.
On aura, en tenant compte de ces relations,
puis
f r désignant une fonction linéaire de Ci , • . . , Ca et de leurs ^lérivées jusqu'à Tordre r.
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura wu résultat de la forme
^ désignant une fonction linéaire de C|, . • ., Ga et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — A:-hi. D'ailleurs, l'équation ^lant satisfaite en supposant C|, .'., C^ constants, les fermes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne
l56 TROISIÈXB PARTIE. — CBAPITRU II.
Si la fonction j^ est une solution de Téquation linéaire
(,5) yn__ {p,yY-\ ^ (^^ j )«-«... 4- (__ i^p^y =z o,
l'intégrale disparaîtra de la formule précédente, et Ton aura,
pour déterminer x, une équation linéaire d'ordre n i,
contenant une constante arbitraire.
Si Ton connaît k solutions y^^ . . . , ^* de Féquation ( i 5 ) , on obtiendra, en posant successivement^' =^'m • • •? »X^=^'a? A: équations linéaires d'ordre /i — i en x. Eliminant entre ces équations les dérivées Jc""* , . . . , a:"~*+* , on aura, pour déterminer ^r, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant /• constantes arbitraires.
L'équation (i5) se nomme M équation adjointe de Téquation (i4)' Il 6S^ clair que réciproquement l'équation (i4) est adjointe à l'équation (i 5).
127. On aurait pu arriver à Féquation adjointe (i5) en remplaçant Féquation primitive (i4) par le système d'équations du premier ordre
dt
\ft — 1 l rï '*•'* — î
/?, j;"- » -k- p^x"^'^ -h . . . -\-pa^ — o,
dt
— jy^-^zno,
"di
qui lui est équivalent.
Ce système a pour adjoint le suivant :
-t-/?tX'»-«-X«-«=o,
dt dt
ÊQCATI05S LIRÉAIEBS. t^J
On peut aisément éliminer X""', . . ., X entre ces équa- ' '3?. U suffira de les diflerentier respectivement n — i fois, \ -2 fois, etc., et de retrancher la somme des équations de .::]^Mmpair de celle des équations de rang pair; il viendra
'^iation qui ne diffère de (i5) que par la notation.
n. — Écniations linéaires à coeUiciento constants.
1%. Une équation linéaire à coefficients constants cl sans jcond membre
P<^ui être mise sous la forme symbolique
Fj: = o
ou
F := a D*» 4- a, D'»- » -i- . . . -h «„, chaque facteur symbolique D représentant une dérivation.
