Soit
"ne autre opération analogue à F (6, 6,, . . . , fe,„ étant des constantes comme a, a«, . . . , «/i).
Effectuons successivement ces deux opérations; l'opéralion résultante sera
Celte expression est la même que Ton obtiendrait en multipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait ^oe quantité et non un symbole de dérivation. L'opération
l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opérations F et G et pourra être représentée indilTéremmcnt par FG ou par GF.
D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considérée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne
un résultat nul. Donc l'équation
o = FGo? = G¥x admet comme solutions celles des équations
Fxr^o, Ga: = o.
130. Soient donc »<i, 53, ... les racines de Véquation caractéristique
fjLi, jJLo, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation différentielle
o = F^ = (D — 5j )l*t (D — 5,)^^. . . . ^ -. o admettra comme solutions celles des équations
11 est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet,
On aura
(D — 5, ).r = 5, e*i'j -h e^i' Dv — .ç, e*.'j et en répétant cette opération
Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit que jsoit un poljnôme arbitraire de degré y.^ — i.
Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on
ÉQUATIONS LINÉAIRES. lf!9
Yoil que Féquation
Fx -1 o admet la solution
où P,, P2, ... sont des poljnômes arbitraires de degrés
Cette solution contient [X| -f- [x^ -h . . . -- n constantes arbitraires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles. Nous allons prouver qu'il en esj; ainsi.
En effet, supposons qu'on ait
P,eV-hP,cV-+-...=:o.
Posons
o = H(PleV-^P,eV-^...)r=H(P^e^')• Mais on a, d'autre part,
Or les polynômes (D — 5|)t*i et H étant premiers entre eux, on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels que l'on ait
et, par suite,
o==[M(D — 5,)l*.-hNH](P,e^')=Pi^'«'.
Donc P| doit être identiquement nul. De même pour les autres polynômes Pj, ....
131. Si les coefficients a\, a2t . . . étant réels, l'équation caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution générale que nous venons d'obtenir renfermera des imaginaires; mais il est aisé de les faire disparaître.
Soient, en effet, 5| --^ a-f- p?, ^2=: a — ^e un couple de
l6o TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE II.
racines conjuguées, u. leur ordre de multiplicité; nous aurons dans l'intégrale générale les deux termes
— e«'[P,(cosp/ + /sinpO-+-Pj(cosp^ — isinpO] = Q,e«'cosp^ + Q,e«'sinp^
Qi, Qa étant des polynômes de degré [jl — i, arbitraires
comme l'étaient P| et P2.
132. Connaissant, par ce qui précède, l'intégrale de Téqiiatlon sans second membre
(i) Fa:=:o,
on obtiendra par des quadratures celle de l'équation à second membre
(2) Fo: — T.
On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si l'on peut déterminer une solution particulière de cette dernière équation.
Ce cas se présentera si T est un polynôme entier en /,
6*', ^?', . . . , siny^, cosy^, .... Car en remplaçant les sinus
et cosinus par des exponentielles, T sera une somme de
termes de la forme
ne",
s désignant une constante et II un polynôme, dont nous désignerons le degré par À.
Nous aurons donc à chercher xvfie solution particulière de l'équation
(3) Fx=iUe''.
Les solutions de cette équation satisfont à l'équation
(4) (D — 5)^+» Fo? =z(D — 5)^-»-« ne"z=o
qui n'a plus de second mcnyre.
ÉQUATIONS LIIIÊAI1E8. l6l
Deux cas seront à distinguer ici :
1"* Si s diffère de 5|, 5a, . . ., Téquation (4) a pour intégrale générale
où P est un polynôme de degré X.
Supprimant les termes qui appartiennent à l'intégrale de Fx = o, on voit que Téquation (3) doit admettre une intégrale particulière de la forme Pe".
2" Si s = Si, rinlégrale générale de (4) sera
P;eM-hP,eV4-...,
F^ étant un polynôme de degré U| -f- X.
Supprimant encore les lermes qui appartiennent à Tintégrale de F j: = o, on voit que Téquation (3) admet une intégrale particulière de la forme /^Pe*»', où P désigne encore lin polynôme de degré X.
La forme de la solution parliculière étant assignée dans chaque cas, il restera à déterminer les coefficienls du polynôme P. Pour cela on substituera Pe''(ou /M-iPe*»') à la place (le X dans l'équation (3); l'idenlification des deux membres donnera un système d'équations linéaires pour calculer les roefGcients i-nconnus.
