Exemple. — Soit à intégrer Téqualion

d^x (5) -7-^- -h /n*^ = cos/i/.

Considérons d'abord Téquation sans second membre

(Px

Son équation caractéristique

admet les deux racines simples db mi. Elle aura donc pour J. — Cours, ni. ji

l6a TROISIËMB PARTIE. — CHAPITRE II.

intégrale générale

Ccosmx-h Cl sinmx,

où C, G| sont des constantes arbitraires (des polynômes de degré zéro).

Revenons à l'équation à second membre (5)

(D*-i- m^)x=zcosnt.

On en déduit

(6) (D«-Hn*)(D«-+-//i«)j? = (D*-+-/i')cos/ifr=:o,

i" Si n^^m^, cette dernière équation aura pour intégrale générale

Xcosnx 4- A| sinnx -h Ccosm.'T -h C| sinmo:,

où A, Â|, C, G| sont des constantes arbitraires. L'équation (5) a donc une intégrale particulière de la forme

Xcosnx -h Al s'innx.

Substituons cette expression dans (5), il viendra

( — n}-h m*){Xcosnx -+- Ai sin«a:)=: cosnXf

doù

A ^zz — -, A, := O.

L'intégrale générale de (5) sera donc

^ ^ . cosnx L cosmos -f- Cl sinm^ h ^ ri

2" Si n'^= m^, les équations (5) et (6) deviennent

(5)' (D'-4- m') ^ = cos/n/,

Cette dernière a pour intégrale générale

(C -h AOcosm^-h(C,-i- Aj^) sinm^

et (5/ admettra une intégrale particulière de la forme

t(Xcosmt -h A, sinmt).

tQrÀTiom LUitAïus. i63

Celle expression, subslituée dans (5)', donne

iim{ — A sÎDÊii -f- A| cosmr)= cos/it/,

d'où

Ar=: 0, Al ^= •

Uinlégrale générale de (5/ sera donc

tcosml

C cosm j; + C| sin mx

134. Considérons un sjsléme d'équalions linéaires à coef- Ccienls conslanls el sans seconds membres. Nous supposerons, pour fixer les idées, que ces équallons soient au nombre de trois. Elles seront de la forme

IL j" -+- M ^' -^ N 5 - - o, L,x-+- M,j ^N,5--o, hfX ■+- M,j' -f- N,5 — o.