Soit A le déterminant

/ m n il nii n^

Soient

ses mineurs; o leur plus grand commun diviseur.

Multiplions la première équation (7} par:;» la seconde par -' y la troisième par -^ et ajoutons*, il vient

L/-hL,/,-+-L,/, M/H-M,/,H- W,/, o = ^ X H ^ y

ou, d'après les propriétés des mineurs,

On trouvera de même

ÉQGATiORS LmftAIftES. l65

DoDc X, y^ z salisfonl à l'équation diffère alielle unique

Jani nous savons déterminer Fintégrale générale. On aura ionc, en désignant par 5|, 53, ... les racines de Téquation •aractéristique, par |X|, [Aj, ... leurs ordres de multiplicité^

P,, Q,, R, étant des polynômes de degré [x, — 1; P„ Qj, R^ «les poljnômes de degré [x^ — i , ....

Substituons ces valeurs dans les premiers membres des équalions (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons un certain nombre de relations linéaires entre les coefficienls lie ces polynèinesy et la solution contiendra autant de con- >iaDtes arbitraires quMI restera de coefficients indéterminés.

136. Si les équations proposées avaient des seconds mcml>re5 de la forme

n. Ili étant des polynômes do degré ^X, on les ferait disparaîire en multipliant les équations données par le facteur symbolique

et Ton serait ramené au problème précédent.

Cette analyse sommaire suffit pour obtenir la solution générale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour iraiterce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il nous faut serrer la question de plus près.

137. Nous considérerons le système proposé comme d'autant plus simple que le degré minimum de ceux des coefficients L, • . ., Na qui ne sont pas identiquement nuls sera plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès-

IÔ6 TR0I8IÈXB PARTIE. — CDAPITRB II.

slvement le système par les opérations indiquées ci-dessus (addition de lignes ou de colonnes).

Soit, pour fixer les idées, M| le coefncÎ3nl de degré minimum dans le Tableau

L M i\ Li M, N, L, M, N,.

Div^isant M par M«, on pourra écrire

R étant de degré moindre que Ht si M| ne divise pas M et pouvant élre pris égal à Mf si M| divise M. Dans le premier cas, le système