L-XL, M-XMi=:R N-XNj

sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il aura deux coefficients égaux à la seconde colonne.

On pourra de même, ou simplifier le système, ou le remplacer par un autre, où Mj soit remplacé par M^. On obtiendra ainsi un système de la forme

L' M, N' L, Ml N,

Si l'un des coefficients L', N', L| , N| , L^, N'a n'est pas divisible par M|, on pourra simplifier le système (par des additions de colonnes). Sinon on pourra rendre U et N' égaux à M,. Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coefficients sont des multiples du premier.

Soit généralement

A AjA A,A

BA BiA B,A

GA C|A CjA,

ÉQUATIONS LIXtAïaSS. 167

un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis de colonnes, on pourra faire disparaître les coeflicients de la première ligne et de la première colonne, sauf le premier, n Ton obtiendra un système de la forme

o B', A B ; A o C, A CjA.

Si B',, B'^, C\j C^ ne sont pas nuls à la fois, on pourra de même remplacer le Tableau partiel

par un autre, où le premier coefficient sera un multiple de A, lel que AAi", le second et le troisième seront nuls, et le dernier sera un multiple de AA|tel que AA| A2.

Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique

o AA, o o o AAïAj.

Une partie des transformations que nous avons fait subir au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient ;, T„ 2^ les dernières variables indépendantes adoptées. Elles seront définies indépendamment les unes des autres par les équations linéaires

(S) AÏ:z=o AA,T) = o, AA,A,J = 0.

Le nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme des degrés des polynômes A, AAf , AA| A2 ou au degré de leur produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes ou de colonnes ne changent pas le déterminant.

On voit aisément qu'elles laissent également inaltérés : 1*^ le plus grand commun diviseur 8| des mineurs du premier

i68 TROISIÈME PARTIE. — CBAPITRE II.

ordre, le plus grand commun diviseur 82 des mineurs du second ordre, elc. Or, sur la forme réduite du Tableau, on a

Az= a»a;a„

Oi= A'Ai, 8,1= A.

Ces équations permettraient de déterminer a priori A, A, , A2 à l'inspection du Tableau primitif.

138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante. In première équation (8) ne sera plus une équation difTérenliellc, mais donnera ^ = o. Si A| se réduit aussi à une constante, on aura de même t; = o, etc.

Enfin, si A est nul, un ou plusieurs coefficients A, A|, A« seront nuls. Soit par exemple A2=o. Les deux premières équations (8) détermineront encore Ç, tj; mais la dernière devenant identique, la fonction Ç restera arbitra:rj.

139. On peut ramener aux équations à coefficients constants les équations linéaires de la forme

Posons en effet

a/ -h ? — <?•», d'où adt^c"du\

on aura

d.r dx

dt du

dx d}x dt ^ f ..dx

dt^ du

ety en général,

/ „ dx d*x\

dt'^ Pa désignant une fonction linéaire à coefficients constants

(QCATlOIfS LmÉAfftBS. 169

de -7— > ---ï -T-j. En effel, si cette proposition est établie

pour le nombre A*, elle sera encore vraie pour A: -h i ; car on aura

€/^^^* au

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura pour déterminer x en fonction de u une équation linéaire à coefBcients constants.

Si Téquation caractéristique correspondante a ses racines inégales, Tintégrale générale sera de la forme

JT — C| e'.« -f- 0,6*^" -h . . . 3Z- C, ( a / 4- p )'. -+- C, ( a/ -h p)'. -+-

S*il y a des racines multiples, à chacune d'elles, 5|, correspondra comme solution une expression de la forme

e'.»(C -+- C, M -h . . . -+- C;x-, MÎ*-')