Considérons une équation linéaire sans second

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dont les coefficients soient uniformes en / et n'aient que des points critiques isolés.

Nous avons vu (119) que la forme générale de ses intégrales est la suivante

où C|, . . ., C/i sont des constantes, et :ri, . . ., 0:^ un système quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savons

170 TIOlSlfcMB PART». — GUAPITBB If.

ea outre (92) que ces intégrales n*ont pas d'autres points critiques que ceux des fonctions pt^ • . . , p„.

Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque la variable indépendante t tourne autour d^un de ces points critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons situé à l'origine des coordonnées.

L'intégrale considérée x varie avec f, mais sans cesser de satisfaire à l'équation différentielle. Lorsque t revient à sa valeur initiale, Pi, . » ■ •, pn reprenant également leurs valeurs initiales, l'équation différentielle redevient ce qu'elle était primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à cette équation, sera de la forme

En particulier, soit Xi l'une quelconque des intégrales indépendantes x^^ - • ', Xn', elle sera transformée en une expression de la forme

Cil "3/1 -f- ... -|- C//I Xff ,

de telle sorte que la rotation de t autour de l'origine aura pour résultat de (aire subir aux intégrales x^, . . ., Xn une substitution linéaire telle que

Le déterminant des coefficients c sera d'ailleurs différent de zéro; car, s'il était nul, les intégrales transformées seraient liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement primitif. La même relation subsisterait donc entre les intégrales primitives x^y ..., x„, contrairement à l'hypothèse faite, que ces intégrales sont indépendantes.