Soit
ÉQUATIONS UNtAlIBS. 171
un autre système quelconque d^intégralcs indépendantes. La substitution S, opérée sur les x^ remplacera les^ par d'autres fonctions linéaires des x, ou, comme les x s'expriment linéairement au moyen des y, par des fonctions linéaires des y.
La rotation autour de l'origine aura donc également pour effet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des coefficients a pour simplifier le plus possible l'expression de cette substitution.
Chercbons tout d'abord s'il existe quelque intégrale
qui se reproduise multipliée par un facteur constant. v. Il faut pour cela qu'on ait
2| \Ci\Xi -|- . . . H- CiffXff) -h . . . -f- Otij (Crti-3?| -H . . . -f- c^„jr„ )
d'où les équations de condition
\ C|««i4-Cs««îH-- .--H (C„n—S)i„--~0.
Les coefficients ai, ... , oe/i ne pouvant être nuls à la fois, il faudra que le déterminant caractéristique
Air:
Cil — s Cji
^11 Ct7— s
in
Ctn
^nn ^
s'annule.
Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines inégales 54, ..., Sn» Soit $i l'une d'elles. En la substituant dans les équations (i) elles deviendront compatibles et détermineront les rapports des coefficients a. Il existera donc
TlOISllQIB PARTIE. — CHAPITRE II.
une fonction^/ qui se reproduira multipliée par Si. D*ailleiirs les n fonctions jKi ) • • • ) ^n ainsi obtenues sont indépendan tes ; car, si elles étaient liées par une relation
la même relation devant subsister constamment entre leurs transformées, on aurait, en faisant faire n — 1 révolutions successives autour de Torigine à la variable /,
équations incompatibles, car le déterminant
n^est pas nul, ^t, S2, ..., s,, étant inégaux; et, d'autre part, les intégrales C|^|, . . . , c,,^/, ne peuvent être toutes nulles. Doue, en choisissant j'i, ..., y^ comme système d'intégrales indépendantes, la substitution S prendra la forme très simple
yn ^n y n
142. Si nous avions choisi un autre système quelconque d'intégrales indépendantes, tel que 2|, . . . , Za^ la substitution S aurait pris une forme telle que
-*»/» «iil^l"^-'- ^^*nn^n
yit " ",yn deviendraient des fonctions linéaires de ^i , . . . , s^, lesquelles se reproduisent respectivement multipliées par
5| , . . . , 5/jt
ÉQVATIONS LINtAIRM. ij3
Ces malliplicateurs devront satisfaire à l'équation
^11 ^îi— * ••• ^fit
Cette éqaation doit donc être identique à Téquation A = o, qui a les mêmes racines. On voit donc que les coefficients de Téqualion en s ne dépendant pas du choix des intégrales indépendantes : ce sont des invariants.
143. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque Téquation en 5 a des racines égales. Nous allons établir la proposition suivante :
On peut toujours trouver un système çl'intéff raies indépendantes formant une ou plusieurs séries ^i, . . . , y„i\ y\j . . ., y'j^\ . . . telles que S remplace les intégrales d'une même série, y ^^ . . . , y^, . . . , y,n respectivement par Siy^, . . . , 5/(j^,i+ rpL-i ),..-, Si{y,n -h Jm-i ), si étant une racine de l'équation caractéristique.
Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à moins de n variables, nous allons démontrer qu'il subsiste pour une substitution San variables.
Soit 5| une des racines de Féqualion caractéristique. H existe une intégrale y que S multiplie par 54. En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives x^j S prendra la forme
S = 1 7, ^2, "-y^n ^i7> ^1 -H Uyy . . . , X;, -{- l„y I,
X2, ,,.f Xa étant des fonctions linéaires de x^» ..-7 Xu, et aura pour déterminant caractéristique
{s,--s)^'=^, A' désignant le déterminant caractéristique de la substitution
TROISlftMR PARTIS. — CHAPITRR II.
Nous pourrons par hvpothèse changer de variables^ Je manière à mettre S' sous la forme
r i > • • • » Jm' *«V I ^'' ^y'm' + y m'- 1 )
OÙ 5|, 5/', . . . sont des racines de A'= o.
Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira à la forme
Sr=
*ij
Si'y'x
Changeons de variables en posant
yk ^- a* r = Y^.
S remplacera Y| , . . ., Y*, . . . par
**(7*-^ ïk-x) -H >^*7 -+- «A-*l7 = **(Y*-f- Y^-,) 4- |AA..r,
en posant, pour abréger,
^^1 -^ «iC^i — -y*) — !*!»
La substitution S aura donc conservé sa forme générale; mais on peut disposer des indéterminées a^ . . ., a^t, . . . de manière à annuler tous les coefficients [x si S\\si^ tous ces coefficienls, sauf le premier (X|, si 5| = 5/.
Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients V (sauf le premier, si 5,7= sC)*
Nous pouvons ainsi ramener S à une forme telle que la
samote :
(QOATIOHS URtAItlS.
*|Y,+ ji,j 5,(Y
*iY',4- |a', y, .. ., .î|(Y;
I Zp' *lZi,
I *î(Zp ~i~ ^/»-i )
144. Supposons que, parmi les coefGcîents (A| , ;jl', , ... que contient encore cette expression, il en existe au moins deux |jii et p.', qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées, ni^m. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place
(le Y', , . . ., Y)„., les suivantes :
S remplacera évidemment U| , . . ., Ua, > . . par
de telle sorte que le terme \l\j^ aura disparu.
On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y, sauf UQ seul, tel que |JL|^.
Supposons donc que l>-\j-" soient nuls. Si [ii|<o, on n'aura qu'à poser
pour ramener S à la forme canonique clierchée
^1*01 5|(Y|-4-Yo), ...
*i Yj, 5i(Y, -+- Yj ), ...
Si {ji| était nul, S aurait déjà |^la forme demandée, la première série de variables étant formée de la seule variable y.
176 TROISlkMB PARTIE. — CHAPITRE II.
145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique que nous venons d^indiquer, soient j^ov^i? •••y^A une des séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est rapportée ; s la racine correspondante de Téquation A = o.
Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces intégrales.
Posons, pour abréger, — ^.log5 = /• et faisons
les z étant de nouvelles inconnues. Lorsqu^on tourne autour de Torigine, f se reproduit multiplié par ô^toV— -5. Jonc les z devront subir Taltération suivante :
Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent de celte propriété, nous remarquerons que la fonction
— Aosl s^accroit de Tunité par une rotation autour de Tori-
