Considérons encore les équations de la forme

où Pq, . . ., Pot sont des polynômes dont le degré soit au plus égal à celui du premier d'entre eux, Pq.

Lorsque Tintégrale d*une équation de cette forme n'a pour points critiques à dislance finie que des pôles, ce qu'on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations suivantes, également dues à M. Halphen.

Remarquons tout d*abord que la condition imposée aux degrés des polynômes P équivaut à dire que les développe-

dM 1 E /Jl • I • If*

^ p"' '"' p" suivant les puissances accroissantes

de t ne contiennent pas de puissances positives. Posons maintenant

R désignant une fraction rationnelle en t, La transformée

PiR

-h (m — i)PiR'

sera de la même forme que la primitive en x; car son intégrale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant

ai4

TROISifeMB PARTIE. — CQAPITRH If.

le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, développé suivant les puissances décroissantes de /, commence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commen

ceront par des termes d'ordre moindre, en tP'~\ tP~'^

On en déduit sans peine que les développements des coeflicients de l'équation (après division par PqR) ne contiendront pas de puissances positives de t,

172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles /i, ^2, ... de l'intégrale de l'équation (i4) et leurs ordres de multiplicité [jL|, [Xj^ ....

Posons

(t— ti)V-i {t — t^)^»...

La transformée en y

-+-••. -J- Qmy = o

appartiendra au même type que la primitive; mais ses intégrales n'auront plus de pôles. Posons

La transformée en z (après suppression du facteur commun ti^^) sera