Cela posé, admettons d'abord que Rm ne soit pas nul

dz

et prenons pour variable auxiliaire la quantité z = -^

3l6 TROISIÈME l'ARTU. -^ GfUPITBS II,

L*équation en z pourra s^écrire

DiGTérentiant, il viendra

Éliminant z entre ces deux équations, on aura la transformée en 3'

RoR/rt -^ -t- [(Ro-+- Ri)R/rt— RoRm] ^^ai-i -*-•••

Cette équation est évidemment du même tvpe que l'équation en z ; et le rapport des deux premiers coefficients, qui

dans l'équation primitive était ^ > sera devenu

(R;-f-R,)R,„-RoR.«R, . r; r;

RoR,« Ro Ro R

Or soient

tu

on aura

et de même

Ro t — Q^t-^0^

R'n. (3, , (3, R/it " ' ^ — T, f — T,

La somme S', analogue à S, formée pour Téquation en z\ sera donc

et sera > S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à Sp, degré de R/n«

ftQCÀTioifs urrtAïus. a 17

La dérivée seconde ^ satisfera de même à une équation du même type, mais où la somme S", analogue à S, sera > S'.

Si ron pouvait poursuivre ainsi indéHnimcnt, on obtiendrait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S", ... non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coefficient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circonstance se présente pour Téqualion en 5". Cette équation admettra comme intégrale particulière une constante ; et l'équation en z aura pour intégrale correspondante un polynôme n de degré n ; enfin Téquationenj' admettra l'intégrale particulière e^'II.

y^e>'ufy,cU.

La nouvelle variable y^ satisfait à une équation d*ordlre m — i , et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même tji'pe que l'équation en j^. On pourra donc en déterminer une solution, de la forme eVlIi, IIi désignant un polynôme.

Posant

'H.J^y.dt,

on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du premier ordre, dont l'intégrale sera

Cm désignant une constante arbitraire.

Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on sait effectuer et fourniront un résultat de la forme

yJ^Ce^kiW,,

les XFa désignant des polynômes et les c* des constantes arbitraires.

Divisant cette expression parle produit {1—1^)^1(1 — ^,)!*i. ..,

ai8 TROiSifcMB PARTIE. — CHAPITRE II.

on aura Tintégrale générale de Téquation en r, sous la forme

les /a étant des fonctions rationnelles.

475. Réciproquement, toute équation différentielle dont l'intégrale générale est de cette forme appartient au type que nous avons considéré.

En effet, éliminant les constantes C/^ entre Téquation (i5) et ses dérivées et supprimmt les facteurs communs exponentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels, qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs. Soit

Po -Tzh- 4- . . . 4- P,„^ = o.

cette équation. Son intégrale n'a, à distance finie, que des

singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de

Pf, . . ., Pm ne surpassent pas celui de Pq.

La chose est manifeste pour les équations du premier ordre;

car de l'équation

a:=ice^ff(t)

on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation

do:-

fit)

où le coefficient X 4- 7777» développé suivant les puissances

décroissantes de t, ne contient pas d^ puissances positives. Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation

QoT^^T^rr 4-...-f-Q,„-,az=:o

ÉQUATIORS LIIIÉÀlftlS. aiQ

qui admet pour intégrale générale

car chaque terme de cette expression est le produit d'une ex- [)onentielIe par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai pour Féquation de degré m

dont rîntégrale générale est

c, H- c,e(«--«.)' hi^+... + c„, ef»--«.)' 4=7^ • et sî nous posons

il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en .r. Or celle-ci a précisément pour intégrale générale 'Lcffe^i'^ //,{().

176. La méthode que nous avons indiquée plus haut pour intégrer par des séries les équations qui n'ont qu'un nombre fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les coefficients de l'équation, au lieu d'être uniformes en /, sont des fonctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine d'une équation algébrique /(^, u) ^^- o.

En eflet, les points critiques de Téquation considérée sont de deux sortes : i° ceux aux environs desquels u reste monodrome; a** ceux autour desquels les diverses déterminations </|, £/2) . . • de cette irrationnelle s'échangent les unes dans les autres.

A partir de chaque point critique de celte seconde sorte, traçons ime coupure allant jusqu'à Tinfini. Tant que C ne traversera pas ces coupures, «i, Wj» ••• resteront monodromes. Substituant successivement ces diverses fonctions dans l'équation diflTérentielle à la place de Uj on obtiendra

220 TROISIÈMB PARTIR. — CBAPITRS II.

une suite d'équations didérenlielles

d^'x , ^d"-^x , .rf'-'a:

^'^ 7ÎF "^ ?•('' "'-^ dï^ -^ •*('' "'^ "c/r^ +...=. o.

Chacune d'elles admettra un système de n intégrales distinctes Xiii ..-, ^nh qu'on pourra exprimer par des séries dans la région considérée.

Il reste à voir quel changement subissent les intégrales lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons qu'en traversant une d'elles w/ se change en ^^*, l'équation F| se changera en r\. l^es intégrales Xti^ ..., Xnî se changeront donc en intégrales de cette dernière équation, soit en expressions de la forme

Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler les valeurs numériques que prennent les intégrales Xut •••! x„i et leurs n — i premières dérivées en arrivant à la coupure aux valeurs que prennent CnOTa-h ... -hCtn^nkj ••• et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la coupure.

177. Nous terminerons cette section en elTectuant quelques applications particulières des principes généraux que nous avons exposés.

Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second ordre à trois points critiques toj ^i, <2 et à intégrales régulières.

Soit F=o l'équation proposée. Changeons de variable indépendante en posant

mu

Soient 6, u deux valeurs correspondantes de t, w. On voit sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une relation de la forme

^ — e =:a, (m — o) -h a,(tt — o)*H-. . .

tQUÀTIORS LINÉAIRES. 221

(formule oh l'on devra remplacer t — 0 ou a — o par - on -

si 0 ou \j deviennent infinis).

Celte valeur de t — O, étant substituée dans une fonction entière de ^-r-*6, donnera une fonction entière de u — u. D^autre part, en la substituant dans une fonction régulière de ^ — ô, telle que

(r-er[To-hT,log(^-0)-u... + Txlog^(/-e)],

où To, T|, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on obtiendra évidemment un résultat de la forme

(" — w)''[Uo-l-U, Iog(a — u)-4-...-hUxlog>^(a— u )],

Uo, . . M Ux étant des fonctions entières de u — u.

Donc Péquation transformée entre x et u admettra comme points critiques les trois points Uo, Uty u^ correspondant à 'oj tiy ^2» ses intégrales seront régulières aux environs de ces points, et les équations déterminantes relatives à ces points seront les mêmes qu'aux points correspondants de Téquation primitive.

Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coefficients m, Tij m\ n! de manière à donner à u^y i/|, u^ des valeurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces valeurs soient o, i, oo. Ce résultat pourra évidemment être obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera

Mo= o, W, = I, W2=^> ou Wo= I, U\ = o, i/j = 00, CtC.

178. Soient respectivement X, V; [jl, jx' et v, v' les racines des équations déterminantes relatives aux points critiques o, 1 , 00. Si X — X', [X — jjl', V — v' ne sont pas entiers, on aura pour les intégrales aux environs de chaeun de ces trois points des développements de la forme

222 TROISifeHB PARTIE. — CHÀPlTaB II.

U, U' étant des fonctions entières de «/ ; V, V des fonclioQS

entières de u — i; W, W des fonctions entières de — •

y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u et r une équation transformée H = o, dont les intégrales seront données aux environs des points o, i, oo par les développements

les quantités

étant respectivement développables suivant les puissances entières et positives de w, de // — i et de - •

L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i admettent une racine nulle, la seconde racine étant respectivement X' — X et |jl' — [JL.

Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce résultat; car on peut prendre pour X une quelconque des deux racines de Téquation déterminante du point o, pour u une quelconque des deux racines de l'équation déterminante du point 1 . Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que les racines V — X et [jl' — [jl aient leur partie réelle positive (à moins que ces différences ne soient purement imaginaires).

L'équation H i:^ o doit être de la forme

d^ M,(^/) dy M,(//)

du- "^ u{u—\) ciu'^ u'-{u — \)-^ ~"^'

ftQUÀTIONS L1NÊ1IRK8. aa3

M|, M) étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i seront

Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les racines o et i et sera divisible par u(u — i). En effectuant la division et chassant les dénominateurs, Téquation prendra la forme

OU, en remplaçant Â, B, C par trois nouvelles constantes a, ^j Y définies par les relations

A = a-hP-i-i, B = — Y» C = oL% «(>-«) ^ -^ [ï -(« -H P-+-i)w]^-ïp7 = o.

179. Les équations déterminantes relatives aux trois points critiques o, i, oo sont respectivement

— r{r-hi)-h (a-4- P-hi)/- — ap=io,

et ont pour racines

o et I — Y> o et Y — « — P» a et p.

L'équation admet donc une intégrale développable aux environs du point o suivant les puissances entières et positives de u.

Soit

Jl = Co -h Cl M 4- . . . -4- Cji. mI* H- . . .

cette intégrale. En la substituant dans Féquation et égalant à zéro les termes en uV-, il viendra

[- jx({x— I) - (a -h p -4- i)|i — a3]Cj,

aa4

TBOISIÈM PARTIE. — CHAPITBB

d'où

et, par suite, en donnant à c^, qui reste arbitraire, la valeur i,

F désignant la série hypergéomé trique (t. I, n° 170).

180. Cela posé, il existe, comme on Ta vu plus haut, vingtquatre substitutions de la forme

qui transforment Téquation proposée en une équation analogue. L^équation transformée admettra comme solution une série hypergéométrique, et Ton en déduira aisément une intégrale correspondante de l'équation primitive.

A.U système de valeurs o, i, oo données à u doivent correspondre pour u les mêmes valeurs, mais dans un ordre arbitraire, ce qui donnera, pour la fraction — ; -.j les six

formes suivantes :

A chacune d'elles correspondent quatre équations transformées, qu'on obtiendra en prenant successivement pour \ chacune des deux racines de l'équation déterminante du point o, pour [x chacune des racines de l'équation déterminante du point I.

Nous allons donner un exemple du calcul de l'une de ces intégrales.