X := o ou I — Y, |i = a ou p
Prenons, par exemple^
Les racines des équations déterminantes pour Téquation entre >s et u seront
Pour o. . . — X = Y — I , I — y — X =: o,
Pour 00.. X-|-|JL=r«-+-i — Y> ï — * — P-hX-|-|jL=ii— p,
Pour I... a — {'•'= o, P — 1*=? — *•
Si nous posons
a-hi~Y = «'» «-P = PS
d'où
cette équation admettra la solution
L'équation primitive admettra donc la solution
ou, en remplaçant o par sa valeur — — - et a', P', y' P"^ leurs valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y""«-"*,
J. — Cours, III. i&
aa6
TKOlSltU PAIT». — CHAPITU II.
182. On obtient par un procédé tout semblable les vingtquatre intégrales suivantes :
(,i,)T-«-pF(Y-a,T-P,Y,«V
(i-«)-«f(ci,Y-P,T,;^)> (i-u)-PF(^P,^-a,Y,^J,
iii-r(i — i/)r-«-P F(i — a, I — ?, 2 — Y, «),
F(a, p, a-4-P — Y-hi, I — «), w'-YF(a — yH-i, P — Y-+-i,tH-P — Y-f-i, i — w),
/<-« F(a, a — Y-i-i, a-hp — Y-+-'f )>
(i-w)Y-«--PF(Y-a, Y-?, Y-«-P + i, i-«), (i— m)Y-x-?m»-YF(i — a, I — p, Y — a— p4-i, I— tt),
(l-M)Y-a-Pi/«-YF/^i-a, y - «, Y" «-?-+-!, ^^)'
(,^„)y-«-Pi/P-yf(^i-P,Y-P,y-«-P+i,^)>
«-«FK a Y-M,« — P-M, |-j,
tgoATiom loitÂius. 337
(35) «-«^Ly""''F(.-Y-l-i, i-p,a-p+i, j^)
(36) «-PF^p, p-Y + i, p-« + i,^)»
(37) «-p^,Ly'"'^F^,«,T«,p-. + i,l),
(39) „-?(, Ly"''"'F(p-Y+i,i-«,P-« + i,^)-
183. Coupons le plan suivant la portion de Taxe des x qui s'étend de o à + oo. Dans le plan ainsi coupé^ chacun des développements précédents restera monodromc. Pour
achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments
de {/, I ceux qui sont compris entre o et stc, pour argument de I — u celui qui est compris entre — « et -|- tî. Les puissances de i/, i » i — u qui figurent dans les exprès-
sions (i6)à(39) auront des valeurs entièrement déterminées. La région de convergence des développements ci-dessus sera : i** pour ceux où la série h jpergéomé trique a l'argument u OM I — £1, l'intérieur des cercles Gq^ Ci de rayon i décrits autour du point o ou du point i respectivement;
2** pour ceux d'areument -> > l'extérieur de ces mêmes
cercles; 3® pour ceux d'argument > la moitié du plan
située à gauche de la droite ^ = - ; 4^ pour ceux d'argument
9 la moitié du plan à droite de cette ligne.
Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre eux ces divers développements dans leurs régions de convergence commune.
Les diflérences des racines des équations déterminantes
22% TtOISltOn PÀtTIB. — GHàPITM H.
relatives aux points o, i , oo sont respectivement i — y, Y — a — ^, |3 — a. Nous supposerons que parmi ces quantités, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas nulle. Les ^4 transformations de Téquation de Gauss permettant : 1° de permuter entre eux d*une manière quelconque les points o, i, oo sans changer les équations déterminantes ; 2^ de changer à volonté les signes des différences des racines des équations déterminantes relatives aux points o et i , il nous sera permis d'admettre que y — a — ^ ait sa partie réelle positive. Dans ce cas les séries h jpergéomé triques
seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Co et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs suivantes (t. I, n<»* 379 et 382),
Cela posé, désignons par ai^i,ai^'2lesdéveloppements(i6) et (20), par 64^1, b^Zi les développements (Sa) et (36); et soitx une intégrale quelconque de Téquation de Gauss . On aura dans rintérieur de Co
et à Textérieur de Co
«37 — U| S| — T~ Wj ^f
Pour trouver la liaison entre les constantes C|, C2, e/|, e/,, nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où les développements restent tous deux convergents, on aura
^1 /t ^- c, 7, — ^, ^1 4- rf,^,.
En particulier^ au point 21 = 1, on aura sur le bord supérieur de la coupure
tQUÂTIOlTS UKlAIM». 929
et, sur le bord inférieur,
d'où les deux relations cherchées
Tirant de ces équations les valeurs de di, dt pour les substituer dans l'expression x = c/i ^i + d^z^^
il viendra
^ Il I ■ MM -^ ■ ■■ ^M^^^M^I I ■ I I ■ BJl ■ S
Cette expression, convergente en dehors du cercle Co^ représentera dans cette région la même intégrale qui, dans rintérieur de Co, était égale à Ci^i + C2^2*
184. Il ne reste plus qu'à voir comment les constantes C| , C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les points critiques o et i , i et oo.
Si Ton traverse la droite oi (en montant), j^i ne change pas, ^2 est multiplié par e'^'^'Y ; et x = c^yx -h C2^2 est changé en Ciyi -h C2e"^*'Yj^j. Ainsi C\ ne change pas, et c^ est multiplié par e"*^'Y.
Si Ton traverse la coupure loo (en montant), di^d2 seront changés en (40 rf; = e- *«'« rfn ûT, =: e-*^'? d^
et c^ , ^2 en deux nouvelles constantes c\ , c\ liées kd^^d^ parles relations
En résolvant les équations linéaires (4o), (40» (4^)9 un éliminera les auxiliaires ^i, </2) ^d d^ et Ton obtiendra l'expression de c\^ c\ en fonction linéaire de C|, c^.
Si Ton traversait les coupures en descendant, les coeffi-
a3o TtOISlkHB PARTIE. — CBAPITM H.
cients C|, c^ subiraient évidemment la transformation inverse de celle qui vient d'être déterminée.
Les coefficients des formules de transformation ne renferment, comme on le voit, que des exponentielles.
