L'équation (43) ^(i-ei)2^-h[Y-(.-+-p-M)ii]^-ot?r = o
étant différentiée, donnera
du*
+ [TH-i-(«+pH-3)ii]^-(« + i)(P+i)^=o ou, en posant ~ =^i
Uil — « ) — . —
dY*
Cette équation ne difiere de la précédente que par le remplacement de a, p, Y par a-f-i, P-|-i,y4-i-
La dérivée -.— ^j =J'''~* satisfera donc à l'équation
Cette équation, multipliée par mY+'»~*(i — a)a+P-r+«"-«, pourra s'écrire
= (a + /i — i) (P 4- /i — i) «"-^(i ^ «)'»-*M.y»-«, en posant, pour abréger.
ÉQUATIONS L1NÊAIRB9. a3l
En la dlfférentiant n — i fois, il viendra
L'application répétée, de cette formule de réduction donnera, pour toute valeur de n entière et positive,
(44) du"
{ =«<a-f.i)... (a-H/i — l)P(p-t-i)...(P-l-/l — l)Mj^.
Cette formule est particulièrement intéressante lorsque ^ est un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas comme solution Texpression
laquelle est un polynôme de degré n, dont la dérivée /i""* 5e réduit à la constante
La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier
ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a -h n,
F(aH-/i, — /i, Y, u)
m1-Y(i~^)Y-« • d" uy-*"'-^ (i — £/)«-^^-T
Le polynôme
F(a-|-/i, — /i, Y, *') = Za
«st donc un produit de puissances par une dérivée n*^™*.
23a THOISIÈSB PAtTIB. — ClUPITtB lU
186. Les quantités y et a + i — y étant supposées positives, les intégrales définies
l,T-«(i-«)«-YZ«Z„rf£i
seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les valeurs suivantes : •
(45) J„.a = o, sim^/t,
(46) J».,r- ' r(n + ,)rMY)r(a + «-v + .)
En effet, Z» satisfait à Téquation
qui peut s'écrire
— «Y(l — w)«-»-»-TZ; = — « (/l + Gt) mY-i (i — «)«-TZ«.
Multiplions par Z^ et intégrons de o à i ; il viendra
ou, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout intégré s*annule aux deux limites,
nin-h a)Jm,i,^ / w^(i ~ m)»-*-*-YZ;,Z'^ du = m{m H- a)J^,„ ;
car le second membre ne change pas si Ton y permute m et n.
On aura donc, si m^/iy
Si m = n, on remarquera que '£'„ satisfait à une équation de même forme que Z^,, sauf le changement de a, /t, y en
ÉQUATIONS URÉAUBS. ^33
a + Q, n — I, Y + i; on aura donc, par un procédé tout semblable,
)f uT(,-«
(/i — i)(/i-+-«-f-i) / iiT(i--«)«^>-Yz;z;</i«
„T+i ( , Il )«+«-Tz; z; rftf .
Continuant ainsi, on aura finalement
ff
/l(/l — l).. .!(«-+-«) (a -h/H-i)...(a-ha/l — i)
D'ailleurs
"^ T(lf + i)...(lf -+-/*-!)
et
J^ V «; «« r(a-h2/i-hi)
Substituant ces valeurs et remplaçant les factorielles par des quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46)-
Soit maintenant /(i/) une fonction quelconque, que nous nous proposons de développer en une série de la forme
/(m)=AoZo4-A,Z,h-. . .-f-ArtZ,|-h
Un semblable développement étant supposé possible (*), on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en efiet les deux membres par ttT~*(i — u)^'~yZn et intégrons de o à I ; il viendra
/(«)aT-«(, «)«-TZ, du = A„J„„,
(•) Sar cette possibilité, voir le Mémoire de M. Darboux Sur le* /onctions de grctndt nombre* {Journal de Liouville, 3* série, t. IV, p. 5 et 877).
a34 TUOISIÈMB PÀtTIB. — GBAPITBB II.
ce qui donnera le coefticient A^ exprimé par une intégrale définie.
187. Les résultats que nous venons de trouver renfermenl comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédemment pour les fonctions X^, de Legendre. Posons en eflet a = Y = I ; nous aurons
et, en posant u = > nous obtiendrons le nouveau polynôme
188. Considérons comme dernière application l'équation de Bessel
dx^ X dx
Substituons pour^ la série
Il viendra, en égalant à zéro le terme en x'^^^^
(r H- 2 |H- a) (r -h a ji -f-i) Cjn.,
-f- (r -1- a ji-t- a) c^i -f- c,x— «'cp^i = o;
d'où
-gy^
(rH-a(H-2-h/i)(r4-aîH-a — /i)
En posant [x = — i , on aura l'équation déterminante r* — /i* = o, d*où r=:db/i.
ÉQUATIONS LIlftAItES. ^35
Prenons d'abord r = /i, il viendra
^* 4(/n-iA-i-i)(ii-i-i)
et, par suite,
L a«(/n-i).i ^•••^ 2«l*(n-hi)...(/i-hiA).i.2...ji J
Cfl I a:
Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire ainsi
2*r(/i-hi)(
Si donc nous prenons pour plus de simplicité la constante Co égale à — — -, il viendra comme première so-
lution la série
^r(/n- iJL-M)r(fA-t-i)'
que nous désignerons par J;|.
En posant r = — /t, on trouvera un résultat tout semblable, sauf le changement de signe de n.
Les deux intégrales Jn, i n seront évidemment indépendantes si n n^est pas un entier réel; l'intégrale générale sera donc
CJ;j~T~ C J — II*
Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif, car il ne figure que par son carré dans l'équation différentielle. Dans ce cas les n premiers termes de J.n s'annulent, car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argument entier négatif, lesquelles sont infinies. Ou aura donc
^^r(— /n-|ji-hi)r{|jL-+-i)
a36 Tftoisitau PAtm. — aunTM ii.
ou, en posant [jl = /i -|- [x',
'^-"""2^r(Hi'-M)r(/i-h|jL'-t-i)-( *)''^**
Les deux intégrales J,, et J.n ne seront donc pas indépendantes et ne suffiront pas pour former l'intégrale générale.
189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale, nous supposerons que Targument, au lieu d'être tout d'abord égal à n, soit égal à /i — e, e étant infiniment petit. Nous pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de
J«^8 et J«+e, Jfl-e et tlli — -n-t-e— i>-e^ j^ limite de cette
dernière quantité pour e = o nous donnera l'intégrale cherchée, que nous représenterons par Y/,.
Séparons les n premiers termes du développement de J//^.e et changeons dans les autres l'indice de sommation |jl en /i -h [Jt; il viendra
!„:=: um > -—- rrrr— ^ — r
"»S<-Kf)-'
en posant, pour abréger,
•'^^^ r(/i-h(jL-hi)r(e4-fA-f-i) \2/
r(/i — e-hii-f-i) r(|i-h
Or, en appliquant la formule connue
\i-/ \ I- / sm/>ic
fiQUATIOHS LniftÀIRBS. 287
00 aura
I , . 8in(/i — e — ul)ic -îw X =r(n — c — ji) — ^ î-^,
expression dont la limite pour e .-=: o est
— T{n — |x) cos(/i — ii)7r = (— i)» -»*+» r(/i — |jl). D^ autre part.
im:^=r(o) = îilog-
r'([i-hi) r'(/n-îi-hi)
r(/i-i-tJH-i)P(iJL-hi) r(iA-+-i)r*(/i-Mn-i)
Substituant ces valeurs, il vient
^r(/n-ix + i)r(ii-hi)L ^^2 r(în-i) r(/n-ix-^i)J
