Les fonctions J^ sont liées par la formule récurrente

En effet, substituant pour les fonctions J leurs développements en série et comparant le coefficient du terme en ^/i+2u-i dans les deux membres, on aura à vérifier l'égalité

2a-Hȕir((i H- i) r(/l -h [A -h l)

2/»-i+îiir{[jL-f-i)r(/i-i-fx) 2'»+»i*-»r(a)r(/i-f.ix-hi)

Or on a

r(|jL-hi) = ixrii, r(/i-HiA-4-i)=rr(/i-MA)r(/i4-fJL).

238 TftOISiftn PAftTU. — CHAPlTftB U.

Substituant ces valeurs et supprimaDt les facteurs com- DiunSy l'égalité à vérifier se réduira à

ïx(/H-|x) "" p. /i-H|i'

ce iqui est évident.

On vérifiera de même cette autre formule

dont la combinaison avec la précédente donnera

Nous signalerons enfin les deux, formules

qu^il est également aisé de vérifier.

191. On peut rattacher à l'équation de Bessel plusieurs équations qui se rencontrent fréquemment dans les applications.

Transformons en eOet cette équation en posant

l clY désignant de nouvelles variables ; on aura

ÉQUATIONS UlftAliBS. nig

D'autre pari,

Substituant les valeurs précédentes de^ et de ses dérivées dans Téqnation de Bessel, on aura Féquation transformée

</»V dV

L^équation en^ ayant pour intégrale générale

la transformée aura, pour intégrale générale

f J-rt devant toutefois être remplacé par Y;, si n est entier).

On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute équation de la forme

(53) ^«^+ar^-l-(6-Hcf>)V = o,

car on peut disposer des quatre constantes a, P, y^ '^ ^^ manière à identifier Téquation (53) avec (52 ).

On remarquera toutefois que, ^ et y ne pouvant être nuls, la transformation serait en défaut si c ou X étaient nuls. Mais alors l'équation (53) se ramène à une équation à coefficients constants (139).

Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants :

a4o noisiftM PASTiB. — CHAPmi n.

correspondant àa = ±n, ^ = ^ = 1, et

correspondant à a==-> P = if T=i9 enfin réqnation de Riccati

correspondant àa=: — \, P= — »Y= ^f^^Cj n = =^