IV. — Intégraiion par des intégrales définies
i92. L'équation de Gauss est un cas particulier de la suivante
où i est une constante, et Q(:r), R(^) deux polynômes, tels que l'un des polj^nômes Q(^), xK{x) soit de degré /i, et Tautre de degré ^n.
Nous essayerons de satisfaire à cette équation en posant
lz= fv{u-'X)^''du,
U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que la ligne L d'intégration.
Substituant dans l'équation la valeur précédente et supprimant le facteur commun (— i)"(Ç — »)• • «(i — w4-i), il
tQUATIOnS UNtAlRIS. 2^1
viendra
I -^{u — x)l-n rR(2r)H-R'(ar)(a-x)H-R'(x)^-?^p^"H-...l\ = /*[(; — «)(" — ^)5-'»-* Q( w) -t- ( M — ar)Ç-» R(m)] U e/a. DcicrmiDons U par la condilîon
{]du
R(«)U = ^UQ(«),
d'où
d.VQ(u) R(«) . , T,rt- , rRf") ,
et enfin
l'équation précède d te deviendra
du
en posant, pour abréger,
L'intégrale de éfV sera nulle et Téquation sera satisfaite : i^ Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale lorsqu'on revient au point de départ;
2^ Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.
193. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales particulières distinctes, dont la combinaison donnera l'intégrale générale de l'équation proposée.
J. — Court, III. x6
2^2 TROISIÈME PÀBTIB. — CHAPITRI II.
La fraction jy- — r> décomposée en fractions simples donnera un résultat de la forme
qt—\ = '^X-i « -h ... -h m, « 4- mo
Pv . P,
où
X4-|JL-4-v-|-...z=/i.
On en déduit (4) V=z (« — a)\{u — 6)P.. . .(a — x)5-«eW
en posant, pour abréger,
«î Pv I
, ^1 T^TT — •••-+- const.
Les fonctions \J{u — -c)^~*, V admettent donc comme points critiques le point x et les racines a, 6, ... de Té* quation Q = o et se reproduisent multipliées par tf**'^, ^aiwa,^ g2ni^^^ , , , lorsque Ton tourne autour de ces divers points.
Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignonsle aux points a, 6, . . . , ^ par des lacets A, B, . . . , X:
soient A, B, . . . , X les valeurs de l'intégrale /U(w — a:)^"*rf« prise dans le sens direct le long de ces divers contours avec une détermination initiale donnée M de la fonction à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L l'un quelconque des contours suivants : ABA^'B"**, . . . , AXA"*X~', . ..; car, si l'on décrit le contour ABA*"*B~*, par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, multipliée par
fiQUATIONS LINfiAltES. a43
La valeur [ÂB] de l'intégrale prise suivant le contour ABA~*B~* est donc une solution de l'équation proposée. Il est aisé de la déterminer. En eflet, en décrivant d'abord
le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et U(a — x)^~* aura pour valeur finale e'™"iM. Décrivant ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de rintégrale «''^'«iB, et U(w — :c)^"* aura pour valeur finale g2iti(aj+p,)]Vf, L'intégrale suivante, le long de A"*, serait évidemment — A si la fonction à intégrer avait pour valeur initiale 6**'»iM (qui est sa valeur finale lorsque Ton décrit A. avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel, égale à — e^^'PiA, et lJ{u — x)^"* aura pour valeur finale
Enfin l'intégrale suivant B"* sera — B.
On aura donc, en réunissant ces résultats,
(6) [AB] = (i — e'^'P.)Â — (i — e«^'«.)B.
On obtiendra des formules semblables pour les intégrales analogues, telles que [AX], [BX], .... On déduit immédiatement de ces relations les suivantes :
