XA]..-[AX

(8) (i — e««'5)[AB]4-(i — e«^'«.)[BX]-h(i-e««'PO[XA] = o,

qui montrent que toutes les intégrales [AB], . • . s'expriment linéairement au moyen des intégrales particulières [AX], [BX], ... [à moins toutefois que Ç ne soit un entier, auquel cas on aurait évidemment

I — c«^'«=:o, X = o, d'où [AX]=o, [BX]=o, ..., de telle sorte que l'équation (8) deviendrait identique].

194. Le nombre des intégrales obtenues par ce qui précède est égal au nombre des racines distinctes de l'équation Q(;/) = o. Si donc le polynôme Q a des racines égales, ou si son degré est inférieur à n, il nous faudra trouver de nouvelles intégrales particulières. Nous les obtiendrons en choi-

a44 TROISifcMB PAITIE. — CBÀPITKB II.

éissant la ligne d'intégration L, de telle sorte que V s'annule

à ses extrémités.

Soit a une racine multiple d'ordre p. de Téquation Q = o.

Posons

u — a = p (coso •+■ {'sintp),

jx-l

^ :=z r {cosp -+■ isinp)

dans les formules (4) et (5) et faisons tendre p vers zéro; on aura évidemment

V=epa. (cosa,«p -h « sina,<p)e''P*"'''l«~l''~fï*-*>*Pi+'»'»ï''-<l*-*-Ç"l, 6 étant un facteur qui tend vers la limite finie

Cette expression tendra vers o ou vers oo, suivant que cos [/? — (|x — i)cp] sera négatif ou positif. Or Téquation

donne pour y un système de 2([x — i) valeurs équi distantes, dans rintervalle de zéro à 21c. Si du point a on mène des droites dans ces diverses directions, elles partageront les environs de ce point en 2([a — i) secteurs. Et, lorsque u tendra vers a, V tendra vers o si u se meut dans un des secteurs de rang impair, vers 00 s'il reste dans un secteur de rang pair. Si donc nous supposons {/Ig* 2) que u, partant de la va-

leur a, s'en éloigne suivant Je premier secteur, traverse ensuite le second secteur et revienne en a par le troisième

ÉQUATIONS U!fftÀltBS. 2^5

secteur, la ligne Â ainsi décrite pourra être prise comme ligne d^intégration, car V est nul à ses deux extrémités.

La valeur de l'intégrale particulière ainsi obtenue variera évidemment suivant que la ligne A enveloppe quelques-uns des points 6, . . ., a: ou les laisse tous en dehors. Nous admettrons qu'elle ait été tracée de manière à satisfaire à cette dernière condition. L'intégrale ainsi obtenue ne changera pas si Ton contracte cette ligne de manière à rendre ses dimensions aussi petites que Ton voudra; la diminution du champ de l'intégration sera compensée par l'accroissement de la valeur de la fonction soumise à l'intégration.

On obtiendra une autre intégrale particulière en intégrant suivant une ligne infiniment petite À' qui s'éloigne de a suivant le troisième secteur et y revienne parle cinquième, etc., ce qui donnera évidemment |jl — i intégrales particulières.

Chaque racine multiple de l'équation Q = o donnera évidemment un résultat analogue, de telle sorte que, si X est nul, nous aurons le nombre d'intégrales voulu.

195. Si X n'est pas nul, cherchons ce que devient V lorsque u tend vers oo. Nous aurons à poser

uz=:p (cos <p -h £ sin <p ) , — —■ z=z r {cosp -h i sinp)

cl à faire tendre p vers oo. On aura évidemment

V=ôp«t-»-Pi-^-[cos(ai-l- Pi4-...)?-i-''sin(ai-+-P|-|-...)ç?]

-^ grp^[coi(/>4->»9)-»-/«ln(/>-4-Xç)J

le facteur Q tendant vers l'unité.

Cette expression tendra vers o ou oo suivant le signe de cos{p -f- ^^p). Or l'équation cos(p -h Xç») = o donne 2X valeurs de (p. Traçons, à partir d'un point quelconque du plan, des droites ayant ces directions. Elles partageront le plan en 2^ secteurs; pour 1/ = 00, on aura

o ou V=

346 TR0I8IËMB 1*ARTIE. — CUAPITRB IL

suivant que u sera dans un secteur de rang impair ou pair. Et si l'on suppose une ligne Â partant de l'infini dans le ( 2 /?i -H I y*"* secteur et y retournant par le (a/n -f- 3)*'^'°* (après avoir laissé à sa gauche tous les points a, 6, . . ., x)^ elle fournira une intégrale particulière. On en obtiendra ainsi X.

196. Nous avons ainsi obtenu dans tous les cas le nombre d'intégrales nécessaire. On pourrait en déterminer une foule d'autres. Il est clair, en effet, qu'on pourrait prendre pour ligne d'intégration :

1^ Toute combinaison de lacets, telle que chaque lacet fût décrit aussi souvent dans le sens direct que dans le seus rétrograde;

2^ Toute ligne L joignant deux des points a, 6, . . . , oc, pourvu qu'elle arrive à ces points dans une direction telle, qu'on ait, en y arrivant, V=: o.

Mais nous savons d'avance, et il serait d'ailleurs aisé de le vérifier, que ces intégrales sont liées linéairement aux intégrales fondamentales que nous avons déterminées.

197. Pour une valeur donnée de x, les lignes suivant lesquelles sont prises ces intégrales fondamentales peuvent être déformées à volonté sans que la valeur des intégrales soit altérée, pourvu que dans cette déformation elles ne traversent jamais les points a, 6, . . ., or. Si l'on fait varier x d'une manière continue, ces intégrales varieront également d'une manière continue, pourvu que le mouvement de x soit accompagné, lorsque cela devient nécessaire, d'une déformation des lignes d'intégration, qui leur fasse éviter la traversée des points a, 6, . . . , ^r.

Ces considérations permettent de déterminer le groupe de l'équation différentielle proposée. En effet, les points critiques de cette équation sont les points a, i, . . . , et il est aisé de se rendre compte de la manière dont varient les intégrales fondamentales lorsque x tourne dans le sens direct autour de l'un de ces points, tel que a.

fiQUATI0?C8 LINÉAIRES. 3^7

198. Les lacets B, . . . n'auronl pas changé ; maïs les lacets X et A, pour éviter d'être traversés par a et x, auront dû se transformer en X' et A' {fig. 3). Or le nouveau

Fig. 3.

contour X' est évidemment équivalent à XAXA**X~* et le contour A' à

XAX-«=::XAX-'A->.A.

L'intégrale suivant X' sera donc égale à X -h e*^5'[AX], et rintégrale suivant A' à — [AX] -f- A. Par suite, l'intégrale

[AX] = (i - e»^'5)A - (1 - e»«'*.) X

se trouvera transformée en

= [ AX ] [ I — ( I — e««'^ ) — ( I — «'"'*0 e^^^^ ] = e»«'(«.-^Ç) [ AX ] ,

et Tune quelconque [BX] des autres intégrales [BX], [CX],... sera changée en

[BX] + (e»'^'?.— I) e««'Ç[AX].

199. Si a est une racine multiple d'ordre \k pour l'équation Q = o, il existera [x — i intégrales particulières I^, . . . , 1^1 correspondant à des contours fermés infiniment petits A,

a48 TROlSlISMI PÀATIB. — CHAPITRE H.

A', ... passant par ce point (194). Ces contours n'étant pas traversés par x dans son mouvement pourront être conservés sans altération. Mais la fonction à intégrer contient le facteur (w — ^)^~"i qui se reproduit multiplié par e^"^'^ lorsque X tourne autour de a, car il enveloppe en même temps le point u qui en est infiniment voisin. Les intégrales I7, > • -, IJLi se reproduiront donc multipliées par e^^*^.

Soient b une autre racine mulliple de Q = o, v son ordre de multiplicité. Il existera v — i intégrales particulières correspondant à des contours fermés infiniment petits passant par b. Le point x restant extérieur à ces contours lorsqu'il tourne autour de a, cette rotation ne changera ni les lignes d'intégration, ni la valeur du facteur (a — x)^'". Ces intégrales resteront donc inaltérées.

Enfin il en est évidemment de même des intégrales correspondant aux X racines infinies que pourrait présenter Téquation Q = o (195).

Nous avons ainsi déterminé d'une manière complète la transformation que subissent les intégrales par une rotation autour de a. On déterminerait de même la transformation opérée par une rotation autour de chacun des autres points critiques 6, ....

200. Il peut arriver, pour certaines valeurs particulières des coefficients de Téquation différentielle, que les intégrales obtenues cessent d'être distinctes. Ainsi, si nous supposons que ttf soit un nombre entier m, Tintégrale

[AX] = (i - e»«'5)Â — (i — e««^«i)X

sera identiquement nulle; car, d'une part, e^'^'*i=i i et. d^autre part, A== o, car la fonction à intégrer reste monodrome dans l'intérieur du lacet A. •

Pour obtenir dans ce cas l'intégrale particulière qui doit remplacer l'intégrale évanouissante, nous supposerons a, = /n-h e, e étant infiniment petit. L'intégrale [ AX] dans cette nouvelle hypothèse ne sera plus nulle, et, en la déve-

tQDATIONS URAAIMS. 2^^

loppant en série suivant les puissances de e, on aura [\X] = [AX]„-,„

Le premier terme de ce développement est identiquement nul. Divisant le reste par e, nous obtiendrons une autre intégrale

qui, pour e =: o, se réduira à son premier terme

'^\e> et X désignant ce que deviennent les intégrales A et X lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le facteur (u — a)*t par sa dérivée (u — a)"* ^og{u — a) pour la valeur particulière ai = m.

On pourra opérer de même dans tous les cas analogues où une combinaison linéaire des intégrales fondamentales s^annule identiquement. En faisant varier infiniment peu l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expression cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce paramètre donnera Tintégrale supplémentaire dont on a besoin.

201. Considérons en particulier le cas où toutes les racines de Q(i^) sont inégales et finies; on aura

et les intégrales particulières de l'équation proposée seront

250 TROISlftVB PARTIE. — CHAPITRE II.

données par la formule

Iap...Ç= f(u - a)«-» (Il ^ ^)P-». . . (a - x)^-« rfii,

OÙ L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à intégrer reprenne sa valeur initiale après Tavoir décrit. La différentiation sous le signe / donne évidemment

^î^gpi=(,)^(5,)(Ç a)...(Ç H.)Ia? ï j..

Uéquation différentielle à laquelle satisfait Iap...| équivaut donc à une relation linéaire entre les n + 1 intégrales consécutives Iap...|, Iap...,|-ij • • -j lap.. .,!-«•

D^autre part, on a évidemment

la-»-i,p...Ç — Iap....Ç+i-i- (^ — a) Iap...Ç.

Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme

oii p^ Çj ...,/* sont des entiers, s'expriment linéairement en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...Ç-i, -..»

Iap...Ç-/î-

Signalons encore cette formule, dont la vérification est immédiate,

(t ,) ^!^« (, 0 ^i^ = (^ «) ^^btJ.

oa ox àadx

202. Si les exposants a, ^, . . . , ç sont réels et rationnels, r intégrale

(ii--a)«-»(ii — 6)M ... (Il — a?)5-irf«

sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...ç 6n sera une période.

• On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une intégrale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des

ÉQUATIONS LINÉAIRES. a5l

paramètres a quiifigurent dans rintégrale, seraient les solutions d*une équation diiïërentielle linéaire à coefficients uniforines. En effet, soient P, P^ . . . les périodes linéairement distinctes. La forme générale des périodes sera

m^ /72|, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d'une manière quelconque, P, P|, ... varieront d'une manière continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de la forme mP -H mi P| -|- . . . . L'effet du contour fermé décrit par a sera donc d'opérer sur P, P|, ... une certaine substitution linéaire. L'équation linéaire

d\ dP dP^

da da da

dont ces périodes sont les solutions, se reproduira multipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coefficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont donc des fonctions uniformes.

203. Proposons-nous , comme application , de former l'équation différentielle à laquelle satisfont les périodes de rintégrale elliptique

considérées comme fonctions du modale k. On a

aSa TROISIÈME PAKTII. — CBAPITIB II.

kl-- r«"»(a~~ir*(a-5')"«^«,

ea posant

Les périodes de cette intégrale, considérées comme fonctions de X, satisferont à l'équation diflcrentielle (i) si Ton pose

Q(a)=:M(tf — i), ^ — {y n—2, R(m) = f— -+- -—1 -1 Q(K) ^ w - J.

Substituant ces valeurs, il \iendra

^d^kl , dkl ...

dx* ' dx *

Il reste à transformer cette expression en substituant à z

sa valeur -r^-

On a

idk ,, . dk

dkl

dx ~

- ^'^ dk'

d^kl

-( ■it.'^^ï .>t.''^ï

dx* ~\ * dk* * ^yt; ' « ' et, en substituant,